Para resolver este problema, utilizaremos la ley de Faraday de la inducción electromagnética y algunas propiedades geométricas del solenoide. Aquí están los pasos para encontrar el campo eléctrico inducido a una distancia [tex]\( r \)[/tex] del eje del solenoide:
1. Identificación de datos:
- Aumento del área: [tex]\( \frac{dA}{dt} = 1.5 \, \text{A}/\text{s} \)[/tex]
- Número de vueltas por metro del solenoide: [tex]\( n = 350 \, \text{vueltas/m} \)[/tex]
- Distancia del eje del solenoide: En el punto a) [tex]\( r = 2.0 \, \text{m} \)[/tex] y en el punto b) [tex]\( r = 4.0 \, \text{m} \)[/tex]
2. Teoría de Faraday:
- La ley de Faraday establece que la fuerza electromotriz (EMF) inducida en una espira es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira: [tex]\(\text{EMF} = -\frac{d\Phi}{dt}\)[/tex], donde [tex]\(\Phi\)[/tex] es el flujo magnético.
- El flujo magnético [tex]\(\Phi\)[/tex] se expresa como [tex]\(\Phi = B \cdot A\)[/tex], con [tex]\(B\)[/tex] siendo el campo magnético y [tex]\(A\)[/tex] el área de la espira. Sin embargo, en este problema consideramos el área variable del solenoide.
3. Simplificación para el campo eléctrico inducido:
- Para los casos donde la variación del área es constante y no se proporciona la tasa de cambio del campo magnético [tex]\( \frac{dB}{dt} \)[/tex], nos centramos en la variación del área.
- La EMF causada por el cambio en el área se relaciona con el número de espiras [tex]\( N = n \cdot l \)[/tex] y con el cambio en el área: [tex]\(\text{EMF} = -N \cdot \frac{dA}{dt}\)[/tex].
- El campo eléctrico inducido [tex]\( E \)[/tex] es la EMF dividida por la longitud circular (perímetro) a la distancia [tex]\( r \)[/tex] del eje: [tex]\[ E = \frac{\text{EMF}}{2 \pi r} = \frac{-(n \cdot l \cdot \frac{dA}{dt})}{2 \pi r} \][/tex].
4. Cálculo del campo eléctrico inducido:
- Aplicando los valores proporcionados:
[tex]\[
E = -\frac{n \cdot \frac{dA}{dt}}{2} \cdot r
\][/tex]
- Para [tex]\( r = 2.0 \, \text{m} \)[/tex], sustituimos los valores:
[tex]\[
E_{2m} = -\frac{350 \cdot 1.5 \cdot 2.0}{2} = -525.0 \, \text{V/m}
\][/tex]
- Para [tex]\( r = 4.0 \, \text{m} \)[/tex], sustituimos los valores:
[tex]\[
E_{4m} = -\frac{350 \cdot 1.5 \cdot 4.0}{2} = -1050.0 \, \text{V/m}
\][/tex]
Resumiendo, el campo eléctrico inducido es:
a) Para [tex]\( r = 2.0 \, \text{m} \)[/tex]: [tex]\( E = -525.0 \, \text{V/m} \)[/tex]
b) Para [tex]\( r = 4.0 \, \text{m} \)[/tex]: [tex]\( E = -1050.0 \, \text{V/m} \)[/tex]
