Para resolver este problema, sigamos los pasos necesarios para determinar la expresión del volumen [tex]\( V \)[/tex] de la caja en función del ancho [tex]\( x \)[/tex] del rectángulo de cartón piedra:
1. Dimensiones iniciales del rectángulo:
- Ancho del rectángulo: [tex]\( x \)[/tex] cm
- Largo del rectángulo: [tex]\( x + 6 \)[/tex] cm
2. Recorte de cuadrados de 4 cm por 4 cm en las esquinas:
Al recortar los cuadrados de 4 cm por 4 cm en cada esquina y plegar los lados hacia arriba, las nuevas dimensiones de la base y la altura de la caja serán:
- Nuevo ancho de la base de la caja: [tex]\( x - 8 \)[/tex] cm (ya que se recortan 4 cm de cada lado, sumando un total de 8 cm)
- Nuevo largo de la base de la caja: [tex]\( (x + 6) - 8 = x - 2 \)[/tex] cm (ya que se recortan 4 cm de cada extremo del largo, sumando un total de 8 cm)
- Altura de la caja: 4 cm (dado por el tamaño de los cuadrados recortados)
3. Cálculo del volumen de la caja:
El volumen [tex]\( V \)[/tex] de la caja se calcula multiplicando las dimensiones de la base por la altura:
[tex]\[
V = (\text{ancho}) \times (\text{largo}) \times (\text{altura})
\][/tex]
Sustituyendo los valores obtenidos:
[tex]\[
V = (x - 8) \times (x - 2) \times 4
\][/tex]
Simplificando, la expresión para el volumen [tex]\( V \)[/tex] es:
[tex]\[
V = 4(x - 8)(x - 2)
\][/tex]
4. Elección de la opción correcta:
Revisando las opciones dadas, la expresión [tex]\( V = 4(x - 8)(x - 2) \)[/tex] corresponde a la opción (C).
Así que, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{C. \quad V(x)=4(x-8)(x-2)}
\][/tex]
