Para dividir el polinomio [tex]\( R = x^3 - 2x^2 + 1 \)[/tex] por el polinomio [tex]\( S = x - 1 \)[/tex] y luego dividir el cociente por 5, seguimos estos pasos:
1. División de los polinomios [tex]\( R \)[/tex] y [tex]\( S \)[/tex]:
Utilizamos la división de polinomios para encontrar el cociente y el residuo cuando se divide [tex]\( R \)[/tex] por [tex]\( S \)[/tex].
[tex]\[
\frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x - 1}
\][/tex]
Realizamos la división polinómica:
- Dividimos el término de mayor grado de [tex]\( R \)[/tex] ([tex]\(x^3\)[/tex]) por el término de mayor grado de [tex]\( S \)[/tex] ([tex]\(x\)[/tex]) lo que nos da [tex]\((x^3 / x = x^2)\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\( x^2 \)[/tex] por [tex]\( x - 1 \)[/tex] y restamos el resultado de [tex]\( x^3 - 2x^2 + 1 \)[/tex].
[tex]\[
x^3 - 2x^2 + 1 - (x^2 \cdot (x - 1)) = x^3 - 2x^2 + 1 - (x^3 - x^2) = -x^2 + 1
\][/tex]
- Ahora, repetimos el proceso para [tex]\(-x^2 + 1\)[/tex]:
- Dividimos [tex]\(-x^2\)[/tex] por [tex]\(x\)[/tex], obteniendo [tex]\(-x\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-x\)[/tex] por [tex]\(x - 1\)[/tex] y restamos de [tex]\(-x^2 + 1\)[/tex]:
[tex]\[
-x^2 + 1 - (-x \cdot (x - 1)) = -x^2 + 1 - (-x^2 + x) = x + 1
\][/tex]
- Finalmente, dividimos [tex]\(x + 1\)[/tex] por [tex]\(x\)[/tex], obteniendo [tex]\(1\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(1\)[/tex] por [tex]\(x - 1\)[/tex] y restamos:
[tex]\[
x + 1 - (1 \cdot (x - 1)) = x + 1 - (x - 1) = 2
\][/tex]
Resumiendo, el cociente de la división es [tex]\(x^2 - x - 1\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
Por lo tanto, tenemos:
[tex]\[
\frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x - 1} = x^2 - x - 1 \quad \text{con residuo 0}
\][/tex]
2. Dividir el cociente por 5:
Ahora tomamos el cociente encontrado, [tex]\( x^2 - x - 1 \)[/tex], y lo dividimos por 5:
[tex]\[
\frac{x^2 - x - 1}{5} = \frac{x^2}{5} - \frac{x}{5} - \frac{1}{5}
\][/tex]
Resumiendo, tenemos:
- Cociente: [tex]\( x^2 - x - 1 \)[/tex]
- Residuo: [tex]\( 0 \)[/tex]
- Cociente dividido por 5: [tex]\( \frac{x^2}{5} - \frac{x}{5} - \frac{1}{5} \)[/tex]
Por lo tanto, la solución completa es:
- Cociente: [tex]\( x^2 - x - 1 \)[/tex]
- Residuo: [tex]\( 0 \)[/tex]
- Cociente dividido por 5: [tex]\( \frac{x^2}{5} - \frac{x}{5} - \frac{1}{5} \)[/tex]
