Claro, vamos a dividir el polinomio [tex]\( R(x) = 4x^2 - 8x - 2 \)[/tex] por el polinomio [tex]\( S(x) = 2x - 1 \)[/tex] utilizando la división de polinomios.
Paso 1: Escribir los polinomios en forma de fracción
[tex]\[
\frac{4x^2 - 8x - 2}{2x - 1}
\][/tex]
Paso 2: Realizar la división
Dividimos el término de mayor grado del numerador por el término de mayor grado del denominador:
[tex]\[
\frac{4x^2}{2x} = 2x
\][/tex]
Multiplicamos [tex]\(2x\)[/tex] por el denominador completo [tex]\(2x - 1\)[/tex] y restamos del numerador:
[tex]\[
4x^2 - 8x - 2 - (2x \cdot (2x - 1)) = 4x^2 - 8x - 2 - (4x^2 - 2x) = 4x^2 - 8x - 2 - 4x^2 + 2x = -6x - 2
\][/tex]
Paso 3: Repetir el proceso con el nuevo polinomio
Ahora dividimos el primer término del nuevo polinomio [tex]\(-6x\)[/tex] por el término de mayor grado del denominador:
[tex]\[
\frac{-6x}{2x} = -3
\][/tex]
Multiplicamos [tex]\(-3\)[/tex] por el denominador completo [tex]\(2x - 1\)[/tex] y restamos:
[tex]\[
-6x - 2 - (-3 \cdot (2x - 1)) = -6x - 2 - (-6x + 3) = -6x - 2 + 6x - 3 = -5
\][/tex]
Paso 4: Escribimos el resultado final
El cociente de la división es [tex]\(2x - 3\)[/tex] y el residuo es [tex]\(-5\)[/tex].
Por lo tanto, la división de [tex]\( 4x^2 - 8x - 2 \)[/tex] por [tex]\( 2x - 1 \)[/tex] es:
[tex]\[
\frac{4x^2 - 8x - 2}{2x - 1} = 2x - 3 \quad \text{con residuo} \quad -5
\][/tex]
