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Sagot :
Entendamos la definición de cada conjunto y cómo generar sus primeros términos a través de una expresión matemática por comprensión.
### Conjunto [tex]\( F \)[/tex]
El conjunto [tex]\( F \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ F = \{5 + 7n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N}_0 \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales no negativos.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ F = \{5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( G \)[/tex]
El conjunto [tex]\( G \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ G = \{n^3 \mid n \in \mathbb{N}\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N} \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ G = \{1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( M \)[/tex]
El conjunto [tex]\( M \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ M = \left\{ \frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N}_0 \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales no negativos.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ M = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \frac{1}{128}, \frac{1}{256}, \frac{1}{512} \right\} \][/tex]
Expresado en forma decimal queda:
[tex]\[ M = \{1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( N \)[/tex]
El conjunto [tex]\( N \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ N = \left\{ \frac{n+1}{2n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N} \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ N = \left\{ \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \frac{6}{11}, \frac{7}{13}, \frac{8}{15}, \frac{9}{17}, \frac{10}{19}, \frac{11}{21} \right\} \][/tex]
Expresado en forma decimal queda:
[tex]\[ N = \{0.6666666666666666, 0.6, 0.5714285714285714, 0.5555555555555556, 0.5454545454545454, 0.5384615384615384, 0.5333333333333333, 0.5294117647058824, 0.5263157894736842, 0.5238095238095238\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( P \)[/tex]
El conjunto [tex]\( P \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ P = \left\{ 6^{\frac{1}{2n+2}} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N}_0 \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales no negativos.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ P = \left\{ \sqrt{6}, \sqrt[4]{6}, \sqrt[6]{6}, \sqrt[8]{6}, \sqrt[10]{6}, \sqrt[12]{6}, \sqrt[14]{6}, \sqrt[16]{6}, \sqrt[18]{6}, \sqrt[20]{6} \right\} \][/tex]
Expresado en forma decimal queda:
[tex]\[ P = \{2.449489742783178, 1.5650845800732873, 1.3480061545972777, 1.2510334048590739, 1.1962311988513155, 1.1610366723739942, 1.1365334760097243, 1.1184960459738218, 1.1046650785974952, 1.0937235477264424\} \][/tex]
### Resumen de los conjuntos
En resumen, los conjuntos definidos por comprensión y sus primeros 10 términos son:
1. [tex]\( F = \{5 + 7n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \)[/tex]
[tex]\[ F = \{5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68\} \][/tex]
2. [tex]\( G = \{n^3 \mid n \in \mathbb{N}\} \)[/tex]
[tex]\[ G = \{1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000\} \][/tex]
3. [tex]\( M = \left\{ \frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \)[/tex]
[tex]\[ M = \{1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125\} \][/tex]
4. [tex]\( N = \left\{ \frac{n+1}{2n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \)[/tex]
[tex]\[ N = \{0.6666666666666666, 0.6, 0.5714285714285714, 0.5555555555555556, 0.5454545454545454, 0.5384615384615384, 0.5333333333333333, 0.5294117647058824, 0.5263157894736842, 0.5238095238095238\} \][/tex]
5. [tex]\( P = \left\{ 6^{\frac{1}{2n+2}} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \)[/tex]
[tex]\[ P = \{2.449489742783178, 1.5650845800732873, 1.3480061545972777, 1.2510334048590739, 1.1962311988513155, 1.1610366723739942, 1.1365334760097243, 1.1184960459738218, 1.1046650785974952, 1.0937235477264424\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( F \)[/tex]
El conjunto [tex]\( F \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ F = \{5 + 7n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N}_0 \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales no negativos.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ F = \{5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( G \)[/tex]
El conjunto [tex]\( G \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ G = \{n^3 \mid n \in \mathbb{N}\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N} \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ G = \{1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( M \)[/tex]
El conjunto [tex]\( M \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ M = \left\{ \frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N}_0 \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales no negativos.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ M = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \frac{1}{128}, \frac{1}{256}, \frac{1}{512} \right\} \][/tex]
Expresado en forma decimal queda:
[tex]\[ M = \{1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( N \)[/tex]
El conjunto [tex]\( N \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ N = \left\{ \frac{n+1}{2n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N} \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ N = \left\{ \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \frac{6}{11}, \frac{7}{13}, \frac{8}{15}, \frac{9}{17}, \frac{10}{19}, \frac{11}{21} \right\} \][/tex]
Expresado en forma decimal queda:
[tex]\[ N = \{0.6666666666666666, 0.6, 0.5714285714285714, 0.5555555555555556, 0.5454545454545454, 0.5384615384615384, 0.5333333333333333, 0.5294117647058824, 0.5263157894736842, 0.5238095238095238\} \][/tex]
### Conjunto [tex]\( P \)[/tex]
El conjunto [tex]\( P \)[/tex] tiene sus términos dados por:
[tex]\[ P = \left\{ 6^{\frac{1}{2n+2}} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \][/tex]
donde [tex]\( \mathbb{N}_0 \)[/tex] representa el conjunto de los números naturales no negativos.
Sus primeros 10 términos, calculados, serían:
[tex]\[ P = \left\{ \sqrt{6}, \sqrt[4]{6}, \sqrt[6]{6}, \sqrt[8]{6}, \sqrt[10]{6}, \sqrt[12]{6}, \sqrt[14]{6}, \sqrt[16]{6}, \sqrt[18]{6}, \sqrt[20]{6} \right\} \][/tex]
Expresado en forma decimal queda:
[tex]\[ P = \{2.449489742783178, 1.5650845800732873, 1.3480061545972777, 1.2510334048590739, 1.1962311988513155, 1.1610366723739942, 1.1365334760097243, 1.1184960459738218, 1.1046650785974952, 1.0937235477264424\} \][/tex]
### Resumen de los conjuntos
En resumen, los conjuntos definidos por comprensión y sus primeros 10 términos son:
1. [tex]\( F = \{5 + 7n \mid n \in \mathbb{N}_0\} \)[/tex]
[tex]\[ F = \{5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68\} \][/tex]
2. [tex]\( G = \{n^3 \mid n \in \mathbb{N}\} \)[/tex]
[tex]\[ G = \{1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000\} \][/tex]
3. [tex]\( M = \left\{ \frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \)[/tex]
[tex]\[ M = \{1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125\} \][/tex]
4. [tex]\( N = \left\{ \frac{n+1}{2n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \)[/tex]
[tex]\[ N = \{0.6666666666666666, 0.6, 0.5714285714285714, 0.5555555555555556, 0.5454545454545454, 0.5384615384615384, 0.5333333333333333, 0.5294117647058824, 0.5263157894736842, 0.5238095238095238\} \][/tex]
5. [tex]\( P = \left\{ 6^{\frac{1}{2n+2}} \mid n \in \mathbb{N}_0 \right\} \)[/tex]
[tex]\[ P = \{2.449489742783178, 1.5650845800732873, 1.3480061545972777, 1.2510334048590739, 1.1962311988513155, 1.1610366723739942, 1.1365334760097243, 1.1184960459738218, 1.1046650785974952, 1.0937235477264424\} \][/tex]
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