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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver estas dos partes paso a paso.
### Parte 1: Funciones Trigonométricas para [tex]$\alpha$[/tex]
Dado: [tex]$\operatorname{Sen}(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{9} \quad \text{y} \quad \alpha \in II~C$[/tex] (segundo cuadrante).
En el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo.
1. Cálculo de [tex]$\Cos(\alpha)$[/tex]:
Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental:
[tex]\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \][/tex]
Sustituimos [tex]$\sin(\alpha)$[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{\sqrt{6}}{9} \right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{6}{81} + \cos^2(\alpha) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{6}{81} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{2}{27} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{27}{27} - \frac{2}{27} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{25}{27} \][/tex]
Tomamos la raíz cuadrada y luego tomando en cuenta el signo negativo en el segundo cuadrante:
[tex]\[ \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{25}{27}} \][/tex]
Simplificando,
[tex]\[ \cos(\alpha) = -\frac{5}{3\sqrt{3}} = -\frac{5\sqrt{3}}{9} \][/tex]
2. Cálculo de [tex]$\Tan(\alpha)$[/tex]:
Utilizamos la definición de tangente:
[tex]\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \][/tex]
Sustituimos los valores encontrados:
[tex]\[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{9}}{-\frac{5\sqrt{3}}{9}} \][/tex]
[tex]\[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{-5\sqrt{3}} \][/tex]
Simplificando,
[tex]\[ \tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{6}}{5\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{5} \][/tex]
Hemos encontrado las tres primeras funciones trigonométricas:
- [tex]$\operatorname{Sen}(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{9}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Cos}(\alpha) = -\frac{5\sqrt{3}}{9}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Tan}(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{5}$[/tex]
### Parte 2: Funciones Trigonométricas para el punto [tex]$P(8, 8)$[/tex]
Dado el punto [tex]$P(8, 8)$[/tex], tenemos que calcular las funciones trigonométricas basadas en este punto.
1. Cálculo de la hipotenusa [tex]$r$[/tex]:
Utilizamos el teorema de Pitágoras:
[tex]\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \][/tex]
Sustituimos [tex]$x = 8$[/tex] y [tex]$y = 8$[/tex]:
[tex]\[ r = \sqrt{8^2 + 8^2} \][/tex]
[tex]\[ r = \sqrt{64 + 64} \][/tex]
[tex]\[ r = \sqrt{128} \][/tex]
[tex]\[ r = 8\sqrt{2} \][/tex]
2. Cálculo de [tex]$\Sin(\theta)$[/tex]:
Definimos el seno como:
[tex]\[ \sin(\theta) = \frac{y}{r} \][/tex]
Sustituimos:
[tex]\[ \sin(\theta) = \frac{8}{8\sqrt{2}} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
3. Cálculo de [tex]$\Cos(\theta)$[/tex]:
Definimos el coseno como:
[tex]\[ \cos(\theta) = \frac{x}{r} \][/tex]
Sustituimos:
[tex]\[ \cos(\theta) = \frac{8}{8\sqrt{2}} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
4. Cálculo de [tex]$\Tan(\theta)$[/tex]:
Definimos la tangente como:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{y}{x} \][/tex]
Sustituimos:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{8}{8} = 1 \][/tex]
Hemos encontrado las tres primeras funciones trigonométricas para el punto [tex]$P(8, 8)$[/tex]:
- [tex]$\operatorname{Sen}(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Cos}(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Tan}(\theta) = 1$[/tex]
Espero que esta explicación paso a paso te haya sido útil. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacérmela.
### Parte 1: Funciones Trigonométricas para [tex]$\alpha$[/tex]
Dado: [tex]$\operatorname{Sen}(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{9} \quad \text{y} \quad \alpha \in II~C$[/tex] (segundo cuadrante).
En el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo.
1. Cálculo de [tex]$\Cos(\alpha)$[/tex]:
Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental:
[tex]\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \][/tex]
Sustituimos [tex]$\sin(\alpha)$[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{\sqrt{6}}{9} \right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{6}{81} + \cos^2(\alpha) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{6}{81} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{2}{27} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{27}{27} - \frac{2}{27} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{25}{27} \][/tex]
Tomamos la raíz cuadrada y luego tomando en cuenta el signo negativo en el segundo cuadrante:
[tex]\[ \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{25}{27}} \][/tex]
Simplificando,
[tex]\[ \cos(\alpha) = -\frac{5}{3\sqrt{3}} = -\frac{5\sqrt{3}}{9} \][/tex]
2. Cálculo de [tex]$\Tan(\alpha)$[/tex]:
Utilizamos la definición de tangente:
[tex]\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \][/tex]
Sustituimos los valores encontrados:
[tex]\[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{9}}{-\frac{5\sqrt{3}}{9}} \][/tex]
[tex]\[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{-5\sqrt{3}} \][/tex]
Simplificando,
[tex]\[ \tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{6}}{5\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{5} \][/tex]
Hemos encontrado las tres primeras funciones trigonométricas:
- [tex]$\operatorname{Sen}(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{9}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Cos}(\alpha) = -\frac{5\sqrt{3}}{9}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Tan}(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{5}$[/tex]
### Parte 2: Funciones Trigonométricas para el punto [tex]$P(8, 8)$[/tex]
Dado el punto [tex]$P(8, 8)$[/tex], tenemos que calcular las funciones trigonométricas basadas en este punto.
1. Cálculo de la hipotenusa [tex]$r$[/tex]:
Utilizamos el teorema de Pitágoras:
[tex]\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \][/tex]
Sustituimos [tex]$x = 8$[/tex] y [tex]$y = 8$[/tex]:
[tex]\[ r = \sqrt{8^2 + 8^2} \][/tex]
[tex]\[ r = \sqrt{64 + 64} \][/tex]
[tex]\[ r = \sqrt{128} \][/tex]
[tex]\[ r = 8\sqrt{2} \][/tex]
2. Cálculo de [tex]$\Sin(\theta)$[/tex]:
Definimos el seno como:
[tex]\[ \sin(\theta) = \frac{y}{r} \][/tex]
Sustituimos:
[tex]\[ \sin(\theta) = \frac{8}{8\sqrt{2}} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
3. Cálculo de [tex]$\Cos(\theta)$[/tex]:
Definimos el coseno como:
[tex]\[ \cos(\theta) = \frac{x}{r} \][/tex]
Sustituimos:
[tex]\[ \cos(\theta) = \frac{8}{8\sqrt{2}} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
4. Cálculo de [tex]$\Tan(\theta)$[/tex]:
Definimos la tangente como:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{y}{x} \][/tex]
Sustituimos:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{8}{8} = 1 \][/tex]
Hemos encontrado las tres primeras funciones trigonométricas para el punto [tex]$P(8, 8)$[/tex]:
- [tex]$\operatorname{Sen}(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Cos}(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$[/tex]
- [tex]$\operatorname{Tan}(\theta) = 1$[/tex]
Espero que esta explicación paso a paso te haya sido útil. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacérmela.
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