Para encontrar el valor mínimo de "n" que cumple con la condición especificada en el polinomio [tex]\( x^{\frac{n}{2}} + x^{\frac{n}{3}} + x^3 \)[/tex] donde los exponentes de las variables deben ser enteros positivos, sigamos estos pasos:
1. Identificar condiciones para los exponentes enteros positivos:
Los exponentes en el polinomio son:
- [tex]\( \frac{n}{2} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{n}{3} \)[/tex]
- 3
Para que [tex]\( \frac{n}{2} \)[/tex] y [tex]\( \frac{n}{3} \)[/tex] sean enteros positivos, "n" debe ser un múltiplo común tanto de 2 como de 3. Esto se puede deducir porque el número "n" debe poder dividirse exactamente por ambos 2 y 3.
2. Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM):
El MCM de 2 y 3 es el número más pequeño que es divisible por ambos. El MCM de 2 y 3 es 6.
3. Verificación de que cumple las condiciones:
Ahora verificamos si n = 6 cumple con todas las condiciones:
- Para [tex]\( \frac{n}{2} \)[/tex] con n = 6: [tex]\( \frac{6}{2} = 3 \)[/tex], que es un entero positivo.
- Para [tex]\( \frac{n}{3} \)[/tex] con n = 6: [tex]\( \frac{6}{3} = 2 \)[/tex], que es un entero positivo.
- [tex]\( x^3 \)[/tex], el exponente 3 ya es un entero positivo, sin necesidad de verificar.
Todos los exponentes son enteros positivos con n = 6.
Por lo tanto, el valor mínimo entero de "n" que cumple con las condiciones especificadas en el polinomio es:
[tex]\[
n = 6
\][/tex]
