Para simplificar la expresión trigonométrica [tex]\(\cos \beta \left( \sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} \right)\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Expresamos cada función trigonométrica en términos de [tex]\(\sin \beta\)[/tex] y [tex]\(\cos \beta\)[/tex]:
- [tex]\(\sec \beta = \frac{1}{\cos \beta}\)[/tex]
- [tex]\(\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\)[/tex]
- [tex]\(\csc \beta = \frac{1}{\sin \beta}\)[/tex]
2. Reescribimos la expresión interior utilizando estas relaciones:
[tex]\[
\sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} = \frac{1}{\cos \beta} - \frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{1}{\sin \beta}}
\][/tex]
3. Simplificamos la fracción [tex]\(\frac{\cot \beta}{\csc \beta}\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{\cot \beta}{\csc \beta} = \frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{1}{\sin \beta}} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \times \sin \beta = \cos \beta
\][/tex]
4. Sustituimos [tex]\(\frac{\cot \beta}{\csc \beta}\)[/tex] en la expresión original:
[tex]\[
\sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} = \frac{1}{\cos \beta} - \cos \beta
\][/tex]
5. Ahora, multiplicamos [tex]\(\cos \beta\)[/tex] por la expresión simplificada:
[tex]\[
\cos \beta \left( \frac{1}{\cos \beta} - \cos \beta \right) = \cos \beta \left( \frac{1}{\cos \beta} \right) - \cos \beta \left( \cos \beta \right)
\][/tex]
6. Simplificamos cada término por separado:
[tex]\[
\cos \beta \left( \frac{1}{\cos \beta} \right) = 1
\][/tex]
y
[tex]\[
\cos \beta \left( \cos \beta \right) = \cos^2 \beta
\][/tex]
7. Combinamos los términos:
[tex]\[
1 - \cos^2 \beta
\][/tex]
8. Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental [tex]\(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\)[/tex] para sustituir:
[tex]\[
\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta
\][/tex]
9. Finalmente, obtenemos la expresión simplificada:
[tex]\[
1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión simplificada es [tex]\(\sin^2 \beta\)[/tex], que corresponde a la opción c.
