Discover new information and insights with the help of IDNLearn.com. Our experts are ready to provide in-depth answers and practical solutions to any questions you may have.
Sagot :
Pour résoudre cette question, je vais expliquer chaque étape de manière détaillée.
### 1. Reconnaître et donner les éléments caractéristiques de (E)
Nous avons l'équation de l'ensemble (E):
[tex]\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour trouver les éléments caractéristiques de cet ensemble, complétons le carré pour chaque variable.
#### Complétons le carré :
[tex]\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(z\)[/tex]:
[tex]\[ z^2 + 6z = (z + 3)^2 - 9 \][/tex]
En substituant dans l'équation d'origine et en réorganisant :
[tex]\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 3)^2 - 9 - 11 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 - 24 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 25 \][/tex]
Cette équation est celle d'une sphère de centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et de rayon [tex]\( 5 \)[/tex] (car [tex]\( \sqrt{25} = 5 \)[/tex]).
### 2. Etudier la position relative des ensembles (E) et (P)
La deuxième partie consiste à étudier la position de la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] par rapport au plan [tex]\( (P) \)[/tex] dont l'équation est [tex]\( 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex].
Pour ce faire, calculons la distance entre le centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] de la sphère et le plan [tex]\( (P) \)[/tex].
La formule de la distance [tex]\( d \)[/tex] d'un point [tex]\( (x_1, y_1, z_1) \)[/tex] à un plan [tex]\( Ax + By + Cz + D = 0 \)[/tex] est :
[tex]\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \][/tex]
Appliquons cela au point [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et au plan [tex]\( P: 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 0, \quad D = 19 \][/tex]
La distance entre le centre de la sphère et le plan est donc :
[tex]\[ d = \frac{|3(1) - 4(-2) + 0(-3) + 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 + 19|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{30}{5} = 6 \][/tex]
La distance du centre de la sphère au plan [tex]\( P \)[/tex] est 6. Comme le rayon de la sphère est 5, cela implique que la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] et le plan [tex]\( (P) \)[/tex] sont sécants.
### 3. Donner une représentation paramétrique de la droite (D) perpendiculaire à P qui passe par l'un des éléments caractéristiques de l'ensemble (E)
Nous savons que [tex]\( (D) \)[/tex] doit passer par le centre de la sphère [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et être perpendiculaire au plan [tex]\( P \)[/tex].
Le vecteur normal au plan [tex]\( P \)[/tex] est [tex]\( (3, -4, 0) \)[/tex].
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex] est :
[tex]\[ (x, y, z) = (1, -2, -3) + t(3, -4, 0) \][/tex]
Où [tex]\( t \)[/tex] est un paramètre réel.
Formellement :
[tex]\[ x = 1 + 3t \][/tex]
[tex]\[ y = -2 - 4t \][/tex]
[tex]\[ z = -3 \][/tex]
C'est la représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex].
### 4. Trouver les coordonnées des points M et N de (E) respectivement le plus proche et le plus éloigné de P en précisant les distances correspondantes
Les points [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] sont les points où la sphère touche les lignes passant par le centre de la sphère et étant parallèles au vecteur normal du plan [tex]\( (D) \)[/tex].
Puisque la distance entre le centre de la sphère et le plan est 6 (plus grand que le rayon de la sphère qui est 5), nous reconnaissons que:
- Le point [tex]\( M \)[/tex] se projettera sur la sphère le long de la ligne de 6 unités (distance plane-centre) - 5 unités (rayon de la sphère)
- Le point [tex]\( N \)[/tex] se projettera 6 + 5 unités le long de la même ligne.
Pour le calculer, prenons les points sur la paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex]:
Pour [tex]\( M \)[/tex] (le plus proche) :
[tex]\[ t = \frac{\text{-distance (6-5)}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5} \][/tex]
[tex]\[ M = (1 + 3 \cdot -\frac{1}{5}, -2 - 4 \cdot -\frac{1}{5}, -3) = (1 - \frac{3}{5}, -2 + \frac{4}{5}, -3) = \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \][/tex]
Pour [tex]\( N \)[/tex] (le plus éloigné) :
[tex]\[ t = \frac{distance (6 + 5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{11}{5} \][/tex]
[tex]\[ N = (1 + 3 \cdot \frac{11}{5}, -2 - 4 \cdot \frac{11}{5}, -3) = (1 + \frac{33}{5}, -2 - \frac{44}{5}, -3) = \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \][/tex]
Les distances correspondantes sont 1 et 11 unités pour [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] respectivement, démontrant que le point le plus proche est [tex]\( M \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \)[/tex] et le plus éloigné [tex]\( N \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \)[/tex].
J'espère que ces explications détaillées vous aideront à comprendre comment résoudre ce problème!
### 1. Reconnaître et donner les éléments caractéristiques de (E)
Nous avons l'équation de l'ensemble (E):
[tex]\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour trouver les éléments caractéristiques de cet ensemble, complétons le carré pour chaque variable.
#### Complétons le carré :
[tex]\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(z\)[/tex]:
[tex]\[ z^2 + 6z = (z + 3)^2 - 9 \][/tex]
En substituant dans l'équation d'origine et en réorganisant :
[tex]\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 3)^2 - 9 - 11 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 - 24 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 25 \][/tex]
Cette équation est celle d'une sphère de centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et de rayon [tex]\( 5 \)[/tex] (car [tex]\( \sqrt{25} = 5 \)[/tex]).
### 2. Etudier la position relative des ensembles (E) et (P)
La deuxième partie consiste à étudier la position de la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] par rapport au plan [tex]\( (P) \)[/tex] dont l'équation est [tex]\( 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex].
Pour ce faire, calculons la distance entre le centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] de la sphère et le plan [tex]\( (P) \)[/tex].
La formule de la distance [tex]\( d \)[/tex] d'un point [tex]\( (x_1, y_1, z_1) \)[/tex] à un plan [tex]\( Ax + By + Cz + D = 0 \)[/tex] est :
[tex]\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \][/tex]
Appliquons cela au point [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et au plan [tex]\( P: 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 0, \quad D = 19 \][/tex]
La distance entre le centre de la sphère et le plan est donc :
[tex]\[ d = \frac{|3(1) - 4(-2) + 0(-3) + 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 + 19|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{30}{5} = 6 \][/tex]
La distance du centre de la sphère au plan [tex]\( P \)[/tex] est 6. Comme le rayon de la sphère est 5, cela implique que la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] et le plan [tex]\( (P) \)[/tex] sont sécants.
### 3. Donner une représentation paramétrique de la droite (D) perpendiculaire à P qui passe par l'un des éléments caractéristiques de l'ensemble (E)
Nous savons que [tex]\( (D) \)[/tex] doit passer par le centre de la sphère [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et être perpendiculaire au plan [tex]\( P \)[/tex].
Le vecteur normal au plan [tex]\( P \)[/tex] est [tex]\( (3, -4, 0) \)[/tex].
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex] est :
[tex]\[ (x, y, z) = (1, -2, -3) + t(3, -4, 0) \][/tex]
Où [tex]\( t \)[/tex] est un paramètre réel.
Formellement :
[tex]\[ x = 1 + 3t \][/tex]
[tex]\[ y = -2 - 4t \][/tex]
[tex]\[ z = -3 \][/tex]
C'est la représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex].
### 4. Trouver les coordonnées des points M et N de (E) respectivement le plus proche et le plus éloigné de P en précisant les distances correspondantes
Les points [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] sont les points où la sphère touche les lignes passant par le centre de la sphère et étant parallèles au vecteur normal du plan [tex]\( (D) \)[/tex].
Puisque la distance entre le centre de la sphère et le plan est 6 (plus grand que le rayon de la sphère qui est 5), nous reconnaissons que:
- Le point [tex]\( M \)[/tex] se projettera sur la sphère le long de la ligne de 6 unités (distance plane-centre) - 5 unités (rayon de la sphère)
- Le point [tex]\( N \)[/tex] se projettera 6 + 5 unités le long de la même ligne.
Pour le calculer, prenons les points sur la paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex]:
Pour [tex]\( M \)[/tex] (le plus proche) :
[tex]\[ t = \frac{\text{-distance (6-5)}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5} \][/tex]
[tex]\[ M = (1 + 3 \cdot -\frac{1}{5}, -2 - 4 \cdot -\frac{1}{5}, -3) = (1 - \frac{3}{5}, -2 + \frac{4}{5}, -3) = \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \][/tex]
Pour [tex]\( N \)[/tex] (le plus éloigné) :
[tex]\[ t = \frac{distance (6 + 5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{11}{5} \][/tex]
[tex]\[ N = (1 + 3 \cdot \frac{11}{5}, -2 - 4 \cdot \frac{11}{5}, -3) = (1 + \frac{33}{5}, -2 - \frac{44}{5}, -3) = \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \][/tex]
Les distances correspondantes sont 1 et 11 unités pour [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] respectivement, démontrant que le point le plus proche est [tex]\( M \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \)[/tex] et le plus éloigné [tex]\( N \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \)[/tex].
J'espère que ces explications détaillées vous aideront à comprendre comment résoudre ce problème!
Thank you for being part of this discussion. Keep exploring, asking questions, and sharing your insights with the community. Together, we can find the best solutions. IDNLearn.com has the solutions to your questions. Thanks for stopping by, and come back for more insightful information.
