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Sagot :
Pour résoudre cette question, je vais expliquer chaque étape de manière détaillée.
### 1. Reconnaître et donner les éléments caractéristiques de (E)
Nous avons l'équation de l'ensemble (E):
[tex]\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour trouver les éléments caractéristiques de cet ensemble, complétons le carré pour chaque variable.
#### Complétons le carré :
[tex]\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(z\)[/tex]:
[tex]\[ z^2 + 6z = (z + 3)^2 - 9 \][/tex]
En substituant dans l'équation d'origine et en réorganisant :
[tex]\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 3)^2 - 9 - 11 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 - 24 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 25 \][/tex]
Cette équation est celle d'une sphère de centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et de rayon [tex]\( 5 \)[/tex] (car [tex]\( \sqrt{25} = 5 \)[/tex]).
### 2. Etudier la position relative des ensembles (E) et (P)
La deuxième partie consiste à étudier la position de la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] par rapport au plan [tex]\( (P) \)[/tex] dont l'équation est [tex]\( 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex].
Pour ce faire, calculons la distance entre le centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] de la sphère et le plan [tex]\( (P) \)[/tex].
La formule de la distance [tex]\( d \)[/tex] d'un point [tex]\( (x_1, y_1, z_1) \)[/tex] à un plan [tex]\( Ax + By + Cz + D = 0 \)[/tex] est :
[tex]\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \][/tex]
Appliquons cela au point [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et au plan [tex]\( P: 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 0, \quad D = 19 \][/tex]
La distance entre le centre de la sphère et le plan est donc :
[tex]\[ d = \frac{|3(1) - 4(-2) + 0(-3) + 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 + 19|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{30}{5} = 6 \][/tex]
La distance du centre de la sphère au plan [tex]\( P \)[/tex] est 6. Comme le rayon de la sphère est 5, cela implique que la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] et le plan [tex]\( (P) \)[/tex] sont sécants.
### 3. Donner une représentation paramétrique de la droite (D) perpendiculaire à P qui passe par l'un des éléments caractéristiques de l'ensemble (E)
Nous savons que [tex]\( (D) \)[/tex] doit passer par le centre de la sphère [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et être perpendiculaire au plan [tex]\( P \)[/tex].
Le vecteur normal au plan [tex]\( P \)[/tex] est [tex]\( (3, -4, 0) \)[/tex].
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex] est :
[tex]\[ (x, y, z) = (1, -2, -3) + t(3, -4, 0) \][/tex]
Où [tex]\( t \)[/tex] est un paramètre réel.
Formellement :
[tex]\[ x = 1 + 3t \][/tex]
[tex]\[ y = -2 - 4t \][/tex]
[tex]\[ z = -3 \][/tex]
C'est la représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex].
### 4. Trouver les coordonnées des points M et N de (E) respectivement le plus proche et le plus éloigné de P en précisant les distances correspondantes
Les points [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] sont les points où la sphère touche les lignes passant par le centre de la sphère et étant parallèles au vecteur normal du plan [tex]\( (D) \)[/tex].
Puisque la distance entre le centre de la sphère et le plan est 6 (plus grand que le rayon de la sphère qui est 5), nous reconnaissons que:
- Le point [tex]\( M \)[/tex] se projettera sur la sphère le long de la ligne de 6 unités (distance plane-centre) - 5 unités (rayon de la sphère)
- Le point [tex]\( N \)[/tex] se projettera 6 + 5 unités le long de la même ligne.
Pour le calculer, prenons les points sur la paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex]:
Pour [tex]\( M \)[/tex] (le plus proche) :
[tex]\[ t = \frac{\text{-distance (6-5)}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5} \][/tex]
[tex]\[ M = (1 + 3 \cdot -\frac{1}{5}, -2 - 4 \cdot -\frac{1}{5}, -3) = (1 - \frac{3}{5}, -2 + \frac{4}{5}, -3) = \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \][/tex]
Pour [tex]\( N \)[/tex] (le plus éloigné) :
[tex]\[ t = \frac{distance (6 + 5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{11}{5} \][/tex]
[tex]\[ N = (1 + 3 \cdot \frac{11}{5}, -2 - 4 \cdot \frac{11}{5}, -3) = (1 + \frac{33}{5}, -2 - \frac{44}{5}, -3) = \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \][/tex]
Les distances correspondantes sont 1 et 11 unités pour [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] respectivement, démontrant que le point le plus proche est [tex]\( M \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \)[/tex] et le plus éloigné [tex]\( N \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \)[/tex].
J'espère que ces explications détaillées vous aideront à comprendre comment résoudre ce problème!
### 1. Reconnaître et donner les éléments caractéristiques de (E)
Nous avons l'équation de l'ensemble (E):
[tex]\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour trouver les éléments caractéristiques de cet ensemble, complétons le carré pour chaque variable.
#### Complétons le carré :
[tex]\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 6z - 11 = 0 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \][/tex]
Pour la variable [tex]\(z\)[/tex]:
[tex]\[ z^2 + 6z = (z + 3)^2 - 9 \][/tex]
En substituant dans l'équation d'origine et en réorganisant :
[tex]\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 3)^2 - 9 - 11 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 - 24 = 0 \][/tex]
[tex]\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 25 \][/tex]
Cette équation est celle d'une sphère de centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et de rayon [tex]\( 5 \)[/tex] (car [tex]\( \sqrt{25} = 5 \)[/tex]).
### 2. Etudier la position relative des ensembles (E) et (P)
La deuxième partie consiste à étudier la position de la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] par rapport au plan [tex]\( (P) \)[/tex] dont l'équation est [tex]\( 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex].
Pour ce faire, calculons la distance entre le centre [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] de la sphère et le plan [tex]\( (P) \)[/tex].
La formule de la distance [tex]\( d \)[/tex] d'un point [tex]\( (x_1, y_1, z_1) \)[/tex] à un plan [tex]\( Ax + By + Cz + D = 0 \)[/tex] est :
[tex]\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \][/tex]
Appliquons cela au point [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et au plan [tex]\( P: 3x - 4y + 19 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 0, \quad D = 19 \][/tex]
La distance entre le centre de la sphère et le plan est donc :
[tex]\[ d = \frac{|3(1) - 4(-2) + 0(-3) + 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 + 19|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{30}{5} = 6 \][/tex]
La distance du centre de la sphère au plan [tex]\( P \)[/tex] est 6. Comme le rayon de la sphère est 5, cela implique que la sphère [tex]\( (E) \)[/tex] et le plan [tex]\( (P) \)[/tex] sont sécants.
### 3. Donner une représentation paramétrique de la droite (D) perpendiculaire à P qui passe par l'un des éléments caractéristiques de l'ensemble (E)
Nous savons que [tex]\( (D) \)[/tex] doit passer par le centre de la sphère [tex]\( (1, -2, -3) \)[/tex] et être perpendiculaire au plan [tex]\( P \)[/tex].
Le vecteur normal au plan [tex]\( P \)[/tex] est [tex]\( (3, -4, 0) \)[/tex].
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex] est :
[tex]\[ (x, y, z) = (1, -2, -3) + t(3, -4, 0) \][/tex]
Où [tex]\( t \)[/tex] est un paramètre réel.
Formellement :
[tex]\[ x = 1 + 3t \][/tex]
[tex]\[ y = -2 - 4t \][/tex]
[tex]\[ z = -3 \][/tex]
C'est la représentation paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex].
### 4. Trouver les coordonnées des points M et N de (E) respectivement le plus proche et le plus éloigné de P en précisant les distances correspondantes
Les points [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] sont les points où la sphère touche les lignes passant par le centre de la sphère et étant parallèles au vecteur normal du plan [tex]\( (D) \)[/tex].
Puisque la distance entre le centre de la sphère et le plan est 6 (plus grand que le rayon de la sphère qui est 5), nous reconnaissons que:
- Le point [tex]\( M \)[/tex] se projettera sur la sphère le long de la ligne de 6 unités (distance plane-centre) - 5 unités (rayon de la sphère)
- Le point [tex]\( N \)[/tex] se projettera 6 + 5 unités le long de la même ligne.
Pour le calculer, prenons les points sur la paramétrique de la droite [tex]\( (D) \)[/tex]:
Pour [tex]\( M \)[/tex] (le plus proche) :
[tex]\[ t = \frac{\text{-distance (6-5)}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5} \][/tex]
[tex]\[ M = (1 + 3 \cdot -\frac{1}{5}, -2 - 4 \cdot -\frac{1}{5}, -3) = (1 - \frac{3}{5}, -2 + \frac{4}{5}, -3) = \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \][/tex]
Pour [tex]\( N \)[/tex] (le plus éloigné) :
[tex]\[ t = \frac{distance (6 + 5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{11}{5} \][/tex]
[tex]\[ N = (1 + 3 \cdot \frac{11}{5}, -2 - 4 \cdot \frac{11}{5}, -3) = (1 + \frac{33}{5}, -2 - \frac{44}{5}, -3) = \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \][/tex]
Les distances correspondantes sont 1 et 11 unités pour [tex]\( M \)[/tex] et [tex]\( N \)[/tex] respectivement, démontrant que le point le plus proche est [tex]\( M \left(\frac{2}{5}, -\frac{6}{5}, -3\right) \)[/tex] et le plus éloigné [tex]\( N \left(\frac{38}{5}, -\frac{54}{5}, -3\right) \)[/tex].
J'espère que ces explications détaillées vous aideront à comprendre comment résoudre ce problème!
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