Para resolver este problema, vamos a determinar las longitudes de las diagonales del rombo a partir de la suma y la diferencia proporcionadas, y luego calcular el área del rombo usando esas longitudes.
Primero, definamos las longitudes de las diagonales:
- Sea [tex]\( d_1 \)[/tex] la longitud de la primera diagonal.
- Sea [tex]\( d_2 \)[/tex] la longitud de la segunda diagonal.
Nos han dado la siguiente información:
1. La suma de las longitudes de las diagonales es 76 m:
[tex]\[
d_1 + d_2 = 76
\][/tex]
2. La diferencia de las longitudes de las diagonales es 20 m:
[tex]\[
d_1 - d_2 = 20
\][/tex]
Para encontrar las longitudes de [tex]\( d_1 \)[/tex] y [tex]\( d_2 \)[/tex], resolveremos este sistema de ecuaciones lineales.
Sumando las dos ecuaciones:
[tex]\[
(d_1 + d_2) + (d_1 - d_2) = 76 + 20
\][/tex]
[tex]\[
2d_1 = 96
\][/tex]
[tex]\[
d_1 = \frac{96}{2} = 48
\][/tex]
Ahora, restando la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[
(d_1 + d_2) - (d_1 - d_2) = 76 - 20
\][/tex]
[tex]\[
2d_2 = 56
\][/tex]
[tex]\[
d_2 = \frac{56}{2} = 28
\][/tex]
Ya tenemos las longitudes de las diagonales:
- [tex]\( d_1 = 48 \)[/tex] m
- [tex]\( d_2 = 28 \)[/tex] m
Finalmente, el área [tex]\( A \)[/tex] de un rombo puede ser calculada usando la fórmula:
[tex]\[
A = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2
\][/tex]
Sustituyendo los valores calculados:
[tex]\[
A = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 28
\][/tex]
[tex]\[
A = \frac{1}{2} \cdot 1344
\][/tex]
[tex]\[
A = 672 \, m^2
\][/tex]
Por lo tanto, el área del rombo es [tex]\( 672 \, m^2 \)[/tex], que corresponde a la opción D:
D) [tex]$672 m^2$[/tex]
