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Sagot :
Para determinar la media, la moda y la mediana de las medidas de las cintas decorativas, tomaremos los siguientes pasos detallados:
### Paso 1: Extraer las medidas y sus frecuencias
Las medidas son los puntos medios de cada intervalo de la tabla:
1. [tex]\([100, 105)\)[/tex]: El punto medio es 102.5.
2. [tex]\([105, 110)\)[/tex]: El punto medio es 107.5.
3. [tex]\([110, 115)\)[/tex]: El punto medio es 112.5.
4. [tex]\([115, 120)\)[/tex]: El punto medio es 117.5.
5. [tex]\([120, 125)\)[/tex]: El punto medio es 122.5.
Las frecuencias (número de cintas) para cada intervalo son:
- [tex]\([100, 105)\)[/tex]: [tex]\(4\)[/tex]
- [tex]\([105, 110)\)[/tex]: [tex]\(9\)[/tex]
- [tex]\([110, 115)\)[/tex]: [tex]\(12\)[/tex]
- [tex]\([115, 120)\)[/tex]: [tex]\(10\)[/tex]
- [tex]\([120, 125)\)[/tex]: [tex]\(3\)[/tex]
### Paso 2: Calcular la media (media ponderada)
La media se calcula como el sumatorio del producto de cada medida por su frecuencia, dividido por el total de cintas.
Para calcularlo:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{\sum (\text{medida} \times \text{frecuencia})}{\sum \text{frecuencias}} \][/tex]
Calculamos el producto de cada medida por su frecuencia y luego sumamos:
[tex]\[ \begin{align*} 100 \times 4 & = 400 \\ 105 \times 9 & = 945 \\ 110 \times 12 & = 1320 \\ 115 \times 10 & = 1150 \\ 120 \times 3 & = 360 \\ \end{align*} \][/tex]
Sumamos estos productos:
[tex]\[ 400 + 945 + 1320 + 1150 + 360 = 4175 \][/tex]
Sumamos las frecuencias:
[tex]\[ 4 + 9 + 12 + 10 + 3 = 38 \][/tex]
Entonces, la media es:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{4175}{38} \approx 109.868 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la moda
La moda es la medida que aparece con mayor frecuencia. Observamos las frecuencias y determinamos que la mayor frecuencia es [tex]\(12\)[/tex], que corresponde al intervalo [tex]\([110, 115)\)[/tex] con una medida de 112.5. Por lo tanto, la moda es:
[tex]\[ \text{Moda} = 110 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la mediana
Para calcular la mediana, primero listamos todas las medidas según su frecuencia en orden:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Medidas:} & \quad 100, 100, 100, 100, \\ & \quad 105, 105, 105, 105, 105, 105, 105, 105, 105, \\ & \quad 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, \\ & \quad 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, \\ & \quad 120, 120, 120 \end{align*} \][/tex]
Ordenamos estas medidas. Al contar, vemos que hay un total de [tex]\(38\)[/tex] medidas. La mediana es el valor en el medio. Para un número par de valores, la mediana es el promedio de los dos valores centrales:
[tex]\[ \text{Posición} = \frac{38}{2} = 19 \text{ y } 20 \text{ (los valores en estas posiciones)} \][/tex]
Los valores en la posición [tex]\(19\)[/tex] y [tex]\(20\)[/tex] son ambos [tex]\(110\)[/tex]. Entonces, la mediana es:
[tex]\[ \text{Mediana} = \frac{110 + 110}{2} = 110 \][/tex]
### Resumen:
Por lo tanto, la media, la moda y la mediana de las medidas de las cintas decorativas son:
- Media: [tex]\(109.8684\)[/tex]
- Moda: [tex]\(110\)[/tex]
- Mediana: [tex]\(110\)[/tex]
### Paso 1: Extraer las medidas y sus frecuencias
Las medidas son los puntos medios de cada intervalo de la tabla:
1. [tex]\([100, 105)\)[/tex]: El punto medio es 102.5.
2. [tex]\([105, 110)\)[/tex]: El punto medio es 107.5.
3. [tex]\([110, 115)\)[/tex]: El punto medio es 112.5.
4. [tex]\([115, 120)\)[/tex]: El punto medio es 117.5.
5. [tex]\([120, 125)\)[/tex]: El punto medio es 122.5.
Las frecuencias (número de cintas) para cada intervalo son:
- [tex]\([100, 105)\)[/tex]: [tex]\(4\)[/tex]
- [tex]\([105, 110)\)[/tex]: [tex]\(9\)[/tex]
- [tex]\([110, 115)\)[/tex]: [tex]\(12\)[/tex]
- [tex]\([115, 120)\)[/tex]: [tex]\(10\)[/tex]
- [tex]\([120, 125)\)[/tex]: [tex]\(3\)[/tex]
### Paso 2: Calcular la media (media ponderada)
La media se calcula como el sumatorio del producto de cada medida por su frecuencia, dividido por el total de cintas.
Para calcularlo:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{\sum (\text{medida} \times \text{frecuencia})}{\sum \text{frecuencias}} \][/tex]
Calculamos el producto de cada medida por su frecuencia y luego sumamos:
[tex]\[ \begin{align*} 100 \times 4 & = 400 \\ 105 \times 9 & = 945 \\ 110 \times 12 & = 1320 \\ 115 \times 10 & = 1150 \\ 120 \times 3 & = 360 \\ \end{align*} \][/tex]
Sumamos estos productos:
[tex]\[ 400 + 945 + 1320 + 1150 + 360 = 4175 \][/tex]
Sumamos las frecuencias:
[tex]\[ 4 + 9 + 12 + 10 + 3 = 38 \][/tex]
Entonces, la media es:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{4175}{38} \approx 109.868 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la moda
La moda es la medida que aparece con mayor frecuencia. Observamos las frecuencias y determinamos que la mayor frecuencia es [tex]\(12\)[/tex], que corresponde al intervalo [tex]\([110, 115)\)[/tex] con una medida de 112.5. Por lo tanto, la moda es:
[tex]\[ \text{Moda} = 110 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la mediana
Para calcular la mediana, primero listamos todas las medidas según su frecuencia en orden:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Medidas:} & \quad 100, 100, 100, 100, \\ & \quad 105, 105, 105, 105, 105, 105, 105, 105, 105, \\ & \quad 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, \\ & \quad 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, \\ & \quad 120, 120, 120 \end{align*} \][/tex]
Ordenamos estas medidas. Al contar, vemos que hay un total de [tex]\(38\)[/tex] medidas. La mediana es el valor en el medio. Para un número par de valores, la mediana es el promedio de los dos valores centrales:
[tex]\[ \text{Posición} = \frac{38}{2} = 19 \text{ y } 20 \text{ (los valores en estas posiciones)} \][/tex]
Los valores en la posición [tex]\(19\)[/tex] y [tex]\(20\)[/tex] son ambos [tex]\(110\)[/tex]. Entonces, la mediana es:
[tex]\[ \text{Mediana} = \frac{110 + 110}{2} = 110 \][/tex]
### Resumen:
Por lo tanto, la media, la moda y la mediana de las medidas de las cintas decorativas son:
- Media: [tex]\(109.8684\)[/tex]
- Moda: [tex]\(110\)[/tex]
- Mediana: [tex]\(110\)[/tex]
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