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Sagot :
Para determinar cuál de las expresiones dadas representa el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término de la sucesión 9, 15, 33, 87, 249, vamos a evaluar cada una de las expresiones propuestas y comparar sus primeros términos con la sucesión dada.
### Expresión A: [tex]\( n^9 \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( n^9 \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 1^9 = 1 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^9 = 512 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^9 = 19683 \)[/tex]
Es evidente que los términos [tex]\( 1, 512, 19683, \ldots \)[/tex] no coinciden con la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( n^9 \)[/tex] no es la expresión correcta.
### Expresión B: [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 3^1 + 6 = 3 + 6 = 9 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^3 + 6 = 27 + 6 = 33 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]: [tex]\( 3^4 + 6 = 81 + 6 = 87 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]: [tex]\( 3^5 + 6 = 243 + 6 = 249 \)[/tex]
Los términos [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex] coinciden exactamente con la sucesión dada. Por lo tanto, [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex] podría representar el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término de la sucesión.
### Expresión C: [tex]\( 3^{n+1} - n \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( 3^{n+1} - n \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 3^{1+1} - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 3^{2+1} - 2 = 3^3 - 2 = 27 - 2 = 25 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^{3+1} - 3 = 3^4 - 3 = 81 - 3 = 78 \)[/tex]
Los términos [tex]\( 8, 25, 78, \ldots \)[/tex] no coinciden con la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( 3^{n+1} - n \)[/tex] no es la expresión correcta.
### Expresión D: [tex]\( 3^{n-1} + 6 \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( 3^{n-1} + 6 \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 3^{1-1} + 6 = 3^0 + 6 = 1 + 6 = 7 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 3^{2-1} + 6 = 3^1 + 6 = 3 + 6 = 9 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^{3-1} + 6 = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \)[/tex]
Los términos [tex]\( 7, 9, 15, \ldots \)[/tex] no coinciden con la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( 3^{n-1} + 6 \)[/tex] no es la expresión correcta.
### Conclusión
La expresión que representa el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término de la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex] es [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex], que corresponde a la opción B.
### Expresión A: [tex]\( n^9 \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( n^9 \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 1^9 = 1 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^9 = 512 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^9 = 19683 \)[/tex]
Es evidente que los términos [tex]\( 1, 512, 19683, \ldots \)[/tex] no coinciden con la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( n^9 \)[/tex] no es la expresión correcta.
### Expresión B: [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 3^1 + 6 = 3 + 6 = 9 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^3 + 6 = 27 + 6 = 33 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]: [tex]\( 3^4 + 6 = 81 + 6 = 87 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]: [tex]\( 3^5 + 6 = 243 + 6 = 249 \)[/tex]
Los términos [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex] coinciden exactamente con la sucesión dada. Por lo tanto, [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex] podría representar el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término de la sucesión.
### Expresión C: [tex]\( 3^{n+1} - n \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( 3^{n+1} - n \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 3^{1+1} - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 3^{2+1} - 2 = 3^3 - 2 = 27 - 2 = 25 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^{3+1} - 3 = 3^4 - 3 = 81 - 3 = 78 \)[/tex]
Los términos [tex]\( 8, 25, 78, \ldots \)[/tex] no coinciden con la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( 3^{n+1} - n \)[/tex] no es la expresión correcta.
### Expresión D: [tex]\( 3^{n-1} + 6 \)[/tex]
Evaluamos los primeros términos de [tex]\( 3^{n-1} + 6 \)[/tex]:
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]: [tex]\( 3^{1-1} + 6 = 3^0 + 6 = 1 + 6 = 7 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex]: [tex]\( 3^{2-1} + 6 = 3^1 + 6 = 3 + 6 = 9 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^{3-1} + 6 = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \)[/tex]
Los términos [tex]\( 7, 9, 15, \ldots \)[/tex] no coinciden con la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( 3^{n-1} + 6 \)[/tex] no es la expresión correcta.
### Conclusión
La expresión que representa el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término de la sucesión [tex]\( 9, 15, 33, 87, 249 \)[/tex] es [tex]\( 3^n + 6 \)[/tex], que corresponde a la opción B.
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