¡Claro! Vamos a resolver cada parte de la pregunta paso a paso, determinando las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto [tex]\((2, -5)\)[/tex].
### Parte (a): Recta con pendiente -3
Para determinar la ecuación de una recta que pasa por un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y tiene pendiente [tex]\(m\)[/tex], usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: [tex]\(y - y_1 = m(x - x_1)\)[/tex].
Dados:
- Punto [tex]\((2, -5)\)[/tex]
- Pendiente [tex]\(m = -3\)[/tex]
Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[ y - (-5) = -3(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y + 5 = -3(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y + 5 = -3x + 6 \][/tex]
[tex]\[ y = -3x + 6 - 5 \][/tex]
[tex]\[ y = -3x + 1 \][/tex]
Entonces, la ecuación es:
[tex]\[ y = -3x + 1 \][/tex]
### Parte (b): Recta paralela al eje [tex]\(x\)[/tex]
Una recta paralela al eje [tex]\(x\)[/tex] tiene una pendiente de 0. La ecuación de una recta paralela al eje [tex]\(x\)[/tex] que pasa por el punto [tex]\((2, -5)\)[/tex] es simplemente una línea horizontal a través de [tex]\((2, -5)\)[/tex].
Entonces, la ecuación es:
[tex]\[ y = -5 \][/tex]
### Parte (c): Recta paralela al eje [tex]\(y\)[/tex]
Una recta paralela al eje [tex]\(y\)[/tex] es una línea vertical. La ecuación de una recta paralela al eje [tex]\(y\)[/tex] que pasa por el punto [tex]\((2, -5)\)[/tex] es simplemente una línea vertical a través de [tex]\(x = 2\)[/tex].
Entonces, la ecuación es:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
### Parte (d): Recta paralela a la recta [tex]\(2x - 4y = 3\)[/tex]
Para encontrar una recta que es paralela a otra, debemos tener la misma pendiente. Primero, encontraremos la pendiente de la recta dada [tex]\(2x - 4y = 3\)[/tex].
Convertimos la ecuación a la forma pendiente-intercepto ([tex]\(y = mx + b\)[/tex]):
[tex]\[ 2x - 4y = 3 \][/tex]
Dividimos todo entre [tex]\(-4\)[/tex]:
[tex]\[ -4y = -2x + 3 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \][/tex]
La pendiente de la recta dada es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex]. Entonces, una recta paralela tendrá la misma pendiente [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex] y pasará por el punto [tex]\((2, -5)\)[/tex].
Usamos nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
[tex]\[ y - (-5) = \frac{1}{2}(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y + 5 = \frac{1}{2}(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y + 5 = \frac{1}{2}x - 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x - 1 - 5 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x - 6 \][/tex]
Entonces, la ecuación es:
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x - 6 \][/tex]
Resumiendo:
(a) y = -3x + 1
(b) y = -5
(c) x = 2
(d) y = \frac{1}{2}x - 6
