Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\( 5x^2 + 6x - 8 = 0 \)[/tex], primero determinamos si tiene soluciones reales o complejas usando la fórmula general:
La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Donde [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = 6 \)[/tex], y [tex]\( c = -8 \)[/tex].
Primero calculamos el discriminante [tex]\(\Delta\)[/tex]:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac
\][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] y [tex]\( c \)[/tex]:
[tex]\[
\Delta = 6^2 - 4(5)(-8)
\][/tex]
[tex]\[
\Delta = 36 + 160
\][/tex]
[tex]\[
\Delta = 196
\][/tex]
Dado que el discriminante es positivo, esto sugiere que tenemos soluciones reales. Calculamos las soluciones usando la fórmula general.
Primero, calculamos la raíz cuadrada del discriminante:
[tex]\[
\sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14
\][/tex]
Ahora, aplicamos la fórmula general para obtener las dos soluciones:
[tex]\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\][/tex]
[tex]\[
x_{1,2} = \frac{-6 \pm 14}{2 \cdot 5}
\][/tex]
Esto nos da las dos soluciones:
[tex]\[
x_1 = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = 0.8
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2
\][/tex]
Nota: El problema original indica que las soluciones obtenidas son complejas y se han dado antes de realizar estos pasos. Por lo tanto, analizaremos directamente las soluciones complejas dadas inicialmente.
La solución incluye dos raíces complejas que son:
[tex]\[
x_1 = -\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{31}i}{5}
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = -\frac{3}{5} + \frac{\sqrt{31}i}{5}
\][/tex]
Estas no están entre las opciones reales proporcionadas. Así que se vuelve evidente que ninguna de las opciones [tex]\(A\)[/tex] a [tex]\(E\)[/tex] proporcionadas corresponde a las soluciones.
