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Sagot :
Vamos resolver passo a passo a questão do projétil lançado a um ângulo de [tex]\(30^{\circ}\)[/tex] com a horizontal e com uma velocidade inicial de [tex]\(400 \, \text{m/s}\)[/tex]. Supondo a aceleração da gravidade igual a [tex]\(10 \, \text{m/s}^2\)[/tex] e desprezando a resistência do ar. Queremos encontrar o intervalo de tempo entre dois pontos em que o projétil atinge a altura de [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] acima do ponto de lançamento.
1. Componentes da velocidade inicial:
Primeiro, determinamos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:
1.1. Componente vertical inicial da velocidade ([tex]\(V_{0y}\)[/tex]):
[tex]\[ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(30^{\circ}) \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 400 \cdot 0.5 \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 200 \, \text{m/s} \][/tex]
2. Equação do movimento vertical:
A equação do movimento vertical do projétil é dada por:
[tex]\[ y = V_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \][/tex]
Aqui, queremos encontrar os instantes [tex]\( t \)[/tex] quando a altura [tex]\( y \)[/tex] é [tex]\( 480 \, \text{m} \)[/tex]. Substituímos os valores dados:
[tex]\[ 480 = 200 \cdot t - 0.5 \cdot 10 \cdot t^2 \][/tex]
[tex]\[ 480 = 200t - 5t^2 \][/tex]
3. Rearranger na forma padrão de uma equação quadrática:
Rearranjamos a equação para a forma [tex]\(\alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 5t^2 - 200t + 480 = 0 \][/tex]
4. Resolver a equação quadrática:
Para resolver a equação [tex]\(5t^2 - 200t + 480 = 0\)[/tex], utilizamos a fórmula quadrática:
[tex]\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -200 \)[/tex], e [tex]\( c = 480 \)[/tex]. Primeiro, calculamos o discriminante ([tex]\(D\)[/tex]):
[tex]\[ D = b^2 - 4ac \][/tex]
[tex]\[ D = (-200)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 480 \][/tex]
[tex]\[ D = 40000 - 9600 \][/tex]
[tex]\[ D = 30400 \][/tex]
Agora, substituímos na fórmula quadrática para encontrar as raízes [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ t_1 = \frac{-(-200) + \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{374.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = 37.435 \, \text{s} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{-(-200) - \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{25.703}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = 2.564 \, \text{s} \][/tex]
5. Intervalo de tempo entre as passagens:
O intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é a diferença entre [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ \Delta t = t_1 - t_2 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 37.435 - 2.564 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 34.871 \, \text{s} \][/tex]
Portanto, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é aproximadamente [tex]\(34.871 \, \text{s}\)[/tex].
1. Componentes da velocidade inicial:
Primeiro, determinamos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:
1.1. Componente vertical inicial da velocidade ([tex]\(V_{0y}\)[/tex]):
[tex]\[ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(30^{\circ}) \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 400 \cdot 0.5 \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 200 \, \text{m/s} \][/tex]
2. Equação do movimento vertical:
A equação do movimento vertical do projétil é dada por:
[tex]\[ y = V_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \][/tex]
Aqui, queremos encontrar os instantes [tex]\( t \)[/tex] quando a altura [tex]\( y \)[/tex] é [tex]\( 480 \, \text{m} \)[/tex]. Substituímos os valores dados:
[tex]\[ 480 = 200 \cdot t - 0.5 \cdot 10 \cdot t^2 \][/tex]
[tex]\[ 480 = 200t - 5t^2 \][/tex]
3. Rearranger na forma padrão de uma equação quadrática:
Rearranjamos a equação para a forma [tex]\(\alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 5t^2 - 200t + 480 = 0 \][/tex]
4. Resolver a equação quadrática:
Para resolver a equação [tex]\(5t^2 - 200t + 480 = 0\)[/tex], utilizamos a fórmula quadrática:
[tex]\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -200 \)[/tex], e [tex]\( c = 480 \)[/tex]. Primeiro, calculamos o discriminante ([tex]\(D\)[/tex]):
[tex]\[ D = b^2 - 4ac \][/tex]
[tex]\[ D = (-200)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 480 \][/tex]
[tex]\[ D = 40000 - 9600 \][/tex]
[tex]\[ D = 30400 \][/tex]
Agora, substituímos na fórmula quadrática para encontrar as raízes [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ t_1 = \frac{-(-200) + \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{374.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = 37.435 \, \text{s} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{-(-200) - \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{25.703}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = 2.564 \, \text{s} \][/tex]
5. Intervalo de tempo entre as passagens:
O intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é a diferença entre [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ \Delta t = t_1 - t_2 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 37.435 - 2.564 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 34.871 \, \text{s} \][/tex]
Portanto, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é aproximadamente [tex]\(34.871 \, \text{s}\)[/tex].
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