Discover the best answers to your questions with the help of IDNLearn.com. Our platform is designed to provide trustworthy and thorough answers to any questions you may have.
Sagot :
Vamos resolver passo a passo a questão do projétil lançado a um ângulo de [tex]\(30^{\circ}\)[/tex] com a horizontal e com uma velocidade inicial de [tex]\(400 \, \text{m/s}\)[/tex]. Supondo a aceleração da gravidade igual a [tex]\(10 \, \text{m/s}^2\)[/tex] e desprezando a resistência do ar. Queremos encontrar o intervalo de tempo entre dois pontos em que o projétil atinge a altura de [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] acima do ponto de lançamento.
1. Componentes da velocidade inicial:
Primeiro, determinamos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:
1.1. Componente vertical inicial da velocidade ([tex]\(V_{0y}\)[/tex]):
[tex]\[ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(30^{\circ}) \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 400 \cdot 0.5 \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 200 \, \text{m/s} \][/tex]
2. Equação do movimento vertical:
A equação do movimento vertical do projétil é dada por:
[tex]\[ y = V_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \][/tex]
Aqui, queremos encontrar os instantes [tex]\( t \)[/tex] quando a altura [tex]\( y \)[/tex] é [tex]\( 480 \, \text{m} \)[/tex]. Substituímos os valores dados:
[tex]\[ 480 = 200 \cdot t - 0.5 \cdot 10 \cdot t^2 \][/tex]
[tex]\[ 480 = 200t - 5t^2 \][/tex]
3. Rearranger na forma padrão de uma equação quadrática:
Rearranjamos a equação para a forma [tex]\(\alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 5t^2 - 200t + 480 = 0 \][/tex]
4. Resolver a equação quadrática:
Para resolver a equação [tex]\(5t^2 - 200t + 480 = 0\)[/tex], utilizamos a fórmula quadrática:
[tex]\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -200 \)[/tex], e [tex]\( c = 480 \)[/tex]. Primeiro, calculamos o discriminante ([tex]\(D\)[/tex]):
[tex]\[ D = b^2 - 4ac \][/tex]
[tex]\[ D = (-200)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 480 \][/tex]
[tex]\[ D = 40000 - 9600 \][/tex]
[tex]\[ D = 30400 \][/tex]
Agora, substituímos na fórmula quadrática para encontrar as raízes [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ t_1 = \frac{-(-200) + \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{374.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = 37.435 \, \text{s} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{-(-200) - \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{25.703}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = 2.564 \, \text{s} \][/tex]
5. Intervalo de tempo entre as passagens:
O intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é a diferença entre [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ \Delta t = t_1 - t_2 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 37.435 - 2.564 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 34.871 \, \text{s} \][/tex]
Portanto, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é aproximadamente [tex]\(34.871 \, \text{s}\)[/tex].
1. Componentes da velocidade inicial:
Primeiro, determinamos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:
1.1. Componente vertical inicial da velocidade ([tex]\(V_{0y}\)[/tex]):
[tex]\[ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(30^{\circ}) \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 400 \cdot 0.5 \][/tex]
[tex]\[ V_{0y} = 200 \, \text{m/s} \][/tex]
2. Equação do movimento vertical:
A equação do movimento vertical do projétil é dada por:
[tex]\[ y = V_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \][/tex]
Aqui, queremos encontrar os instantes [tex]\( t \)[/tex] quando a altura [tex]\( y \)[/tex] é [tex]\( 480 \, \text{m} \)[/tex]. Substituímos os valores dados:
[tex]\[ 480 = 200 \cdot t - 0.5 \cdot 10 \cdot t^2 \][/tex]
[tex]\[ 480 = 200t - 5t^2 \][/tex]
3. Rearranger na forma padrão de uma equação quadrática:
Rearranjamos a equação para a forma [tex]\(\alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 5t^2 - 200t + 480 = 0 \][/tex]
4. Resolver a equação quadrática:
Para resolver a equação [tex]\(5t^2 - 200t + 480 = 0\)[/tex], utilizamos a fórmula quadrática:
[tex]\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -200 \)[/tex], e [tex]\( c = 480 \)[/tex]. Primeiro, calculamos o discriminante ([tex]\(D\)[/tex]):
[tex]\[ D = b^2 - 4ac \][/tex]
[tex]\[ D = (-200)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 480 \][/tex]
[tex]\[ D = 40000 - 9600 \][/tex]
[tex]\[ D = 30400 \][/tex]
Agora, substituímos na fórmula quadrática para encontrar as raízes [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ t_1 = \frac{-(-200) + \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{200 + 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = \frac{374.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_1 = 37.435 \, \text{s} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{-(-200) - \sqrt{30400}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - \sqrt{30400}}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{200 - 174.297}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{25.703}{10} \][/tex]
[tex]\[ t_2 = 2.564 \, \text{s} \][/tex]
5. Intervalo de tempo entre as passagens:
O intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é a diferença entre [tex]\( t_1 \)[/tex] e [tex]\( t_2 \)[/tex]:
[tex]\[ \Delta t = t_1 - t_2 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 37.435 - 2.564 \][/tex]
[tex]\[ \Delta t = 34.871 \, \text{s} \][/tex]
Portanto, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura [tex]\(480 \, \text{m}\)[/tex] é aproximadamente [tex]\(34.871 \, \text{s}\)[/tex].
We appreciate your contributions to this forum. Don't forget to check back for the latest answers. Keep asking, answering, and sharing useful information. Thank you for trusting IDNLearn.com with your questions. Visit us again for clear, concise, and accurate answers.
