Para resolver la ecuación [tex]\( |2x - 5| = x + 2 \)[/tex], necesitamos considerar las dos posibles situaciones para el valor absoluto, ya que el valor absoluto [tex]\( |a| \)[/tex] representa la distancia de [tex]\( a \)[/tex] a cero y puede ser [tex]\( a \)[/tex] o [tex]\( -a \)[/tex]. Por lo tanto, podemos dividir la ecuación en dos casos:
### Caso 1: [tex]\( 2x - 5 = x + 2 \)[/tex]
1. Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x - 5 = x + 2
\][/tex]
2. Restamos [tex]\( x \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
2x - x - 5 = 2
\][/tex]
[tex]\[
x - 5 = 2
\][/tex]
3. Sumamos 5 a ambos lados:
[tex]\[
x = 7
\][/tex]
4. Verificamos si esta solución satisface la ecuación original:
[tex]\[
|2(7) - 5| = 7 + 2
\][/tex]
[tex]\[
|14 - 5| = 9
\][/tex]
[tex]\[
9 = 9
\][/tex]
Esta solución es válida.
### Caso 2: [tex]\( 2x - 5 = -(x + 2) \)[/tex]
1. Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x - 5 = -x - 2
\][/tex]
2. Sumamos [tex]\( x \)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[
2x + x - 5 = -2
\][/tex]
[tex]\[
3x - 5 = -2
\][/tex]
3. Sumamos 5 a ambos lados:
[tex]\[
3x = 3
\][/tex]
4. Dividimos por 3 ambos lados:
[tex]\[
x = 1
\][/tex]
5. Verificamos si esta solución satisface la ecuación original:
[tex]\[
|2(1) - 5| = 1 + 2
\][/tex]
[tex]\[
|2 - 5| = 3
\][/tex]
[tex]\[
|-3| = 3
\][/tex]
[tex]\[
3 = 3
\][/tex]
Esta solución también es válida.
### Soluciones
Las soluciones para la ecuación [tex]\( |2x - 5| = x + 2 \)[/tex] son [tex]\( x = 7 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].
