Answered

Find expert answers and community support for all your questions on IDNLearn.com. Receive prompt and accurate responses to your questions from our community of knowledgeable professionals ready to assist you at any time.

Rezolvați ecuațiile:

a) [tex]\[ x + 2x + 3x + \ldots + 20x = 420 \][/tex]

b) [tex]\[ (x-1) + (x-2) + (x-3) + \ldots + (x-20) = 0 \][/tex]

c) [tex]\[ x - 2x + 3x - 4x + \ldots + 99x - 100x = 500 \][/tex]

d) [tex]\[ \frac{x}{1 \cdot 2} + \frac{x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{x}{199 \cdot 200} = 398 \][/tex]

Sagot :

GinnyAnsweridn
Să rezolvăm fiecare ecuație pas cu pas.

### Ecuația a: [tex]\(x + 2x + 3x + \ldots + 20x = 420\)[/tex]

1. Adunăm termenii pe partea stângă:
[tex]\[ x + 2x + 3x + \ldots + 20x = x(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \][/tex]
2. Suma primelor 20 de numere naturale se calculează folosind formula:
[tex]\[ \sum_{i=1}^{20} i = \frac{20(20 + 1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \][/tex]
3. Astfel, ecuația devine:
[tex]\[ 210x = 420 \][/tex]
4. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ x = \frac{420}{210} = 2.0 \][/tex]

### Ecuația b: [tex]\((x-1)+(x-2)+(x-3)+\ldots+(x-20)=0\)[/tex]

1. Adunăm termenii pe partea stângă:
[tex]\[ (x-1) + (x-2) + (x-3) + \ldots + (x-20) = 20x - (1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \][/tex]
2. Din nou, suma primelor 20 de numere naturale este 210:
[tex]\[ 20x - 210 = 0 \][/tex]
3. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ 20x = 210 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{210}{20} = 10.5 \][/tex]

### Ecuația c: [tex]\(x - 2x + 3x - 4x + \ldots + 99x - 100x = 500\)[/tex]

1. Observăm că termenii alternează în semn (plus și minus). Putem grupa termenii în perechi:
2. Fiecare pereche formează o secvență de tipul: [tex]\( (2k-1)x - 2kx \)[/tex] pentru [tex]\( k = 1 \)[/tex] la 50.
3. Adunând aceste perechi:
[tex]\[ \sum_{i=1}^{100} (-1)^{i+1}ix = -50x \][/tex]
4. Ecuația devine:
[tex]\[ -50x = 500 \][/tex]
5. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ x = \frac{500}{-50} = -10.0 \][/tex]

### Ecuația d: [tex]\( \frac{x}{1 \cdot 2} + \frac{x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{x}{199 \cdot 200} = 398 \)[/tex]

1. Să analizăm seria de termeni:
[tex]\[ \frac{x}{n(n+1)} \][/tex]
2. Fiecare termen poate fi scris mai simplu:
[tex]\[ \frac{x}{n(n+1)} = \frac{x}{n} - \frac{x}{n+1} \][/tex]
3. Suma seriei de la [tex]\( n=1 \)[/tex] la [tex]\( n=199 \)[/tex] formează un lanț telescopic:
[tex]\[ \left(\frac{x}{1} - \frac{x}{2}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{x}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{x}{199} - \frac{x}{200}\right) = x\left(1 - \frac{1}{200}\right) = x\left(\frac{199}{200}\right) \][/tex]
4. Astfel, ecuația devine:
[tex]\[ x \cdot \frac{199}{200} = 398 \][/tex]
5. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ x = \frac{398 \cdot 200}{199} = 400.0 \][/tex]

Prin urmare, soluțiile ecuațiilor sunt:
- [tex]\(x = 2.0\)[/tex]
- [tex]\(x = 10.5\)[/tex]
- [tex]\(x = -10.0\)[/tex]
- [tex]\(x = 400.0\)[/tex]
We greatly appreciate every question and answer you provide. Keep engaging and finding the best solutions. This community is the perfect place to learn and grow together. IDNLearn.com is your reliable source for accurate answers. Thank you for visiting, and we hope to assist you again.