Para encontrar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta [tex]\(x + 2y - 1 = 0\)[/tex] en la elipse de ecuación [tex]\(x^2 + 2y^2 = 3\)[/tex], debemos seguir estos pasos:
1. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los puntos de intersección:
[tex]\[
\begin{cases}
x + 2y - 1 = 0 \\
x^2 + 2y^2 = 3
\end{cases}
\][/tex]
Primero, despejamos [tex]\(x\)[/tex] en la ecuación de la recta:
[tex]\[
x = 1 - 2y
\][/tex]
Sustituimos [tex]\(x\)[/tex] en la ecuación de la elipse:
[tex]\[
(1 - 2y)^2 + 2y^2 = 3
\][/tex]
Expandimos y simplificamos:
[tex]\[
1 - 4y + 4y^2 + 2y^2 = 3 \\
6y^2 - 4y + 1 = 3 \\
6y^2 - 4y + 1 - 3 = 0 \\
6y^2 - 4y - 2 = 0
\][/tex]
Dividimos toda la ecuación por 2:
[tex]\[
3y^2 - 2y - 1 = 0
\][/tex]
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores de [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = 1 \quad \text{y} \quad y = -\frac{1}{3}
\][/tex]
Usamos estos valores de [tex]\(y\)[/tex] para encontrar los correspondientes valores de [tex]\(x\)[/tex] usando [tex]\(x = 1 - 2y\)[/tex]:
[tex]\[
y = 1 \implies x = 1 - 2(1) = -1 \\
y = -\frac{1}{3} \implies x = 1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}
\][/tex]
Entonces, los puntos de intersección son:
[tex]\[
(-1, 1) \quad \text{y} \quad \left(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right)
\][/tex]
2. Calcular las coordenadas del punto medio de la cuerda:
El punto medio de un segmento cuyos extremos son [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex] se calcula con las fórmulas:
[tex]\[
\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\][/tex]
Sustituimos los puntos de intersección:
[tex]\[
x_1 = -1, y_1 = 1, x_2 = \frac{5}{3}, y_2 = -\frac{1}{3}
\][/tex]
Entonces, las coordenadas del punto medio son:
[tex]\[
x \implies \frac{-1 + \frac{5}{3}}{2} = \frac{\frac{-3}{3} + \frac{5}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} = 0.333 \\
y \implies \frac{1 + -\frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} = 0.333
\][/tex]
Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de la cuerda son:
[tex]\[
\left(0.333, 0.333\right)
\][/tex]
