Para determinar la probabilidad de una variable aleatoria [tex]\( X \)[/tex] que sigue una distribución normal [tex]\( N(9, 5) \)[/tex], donde [tex]\( P(10 < X \leq 15) \)[/tex], podemos seguir estos pasos:
1. Entender la distribución:
- [tex]\( X \)[/tex] tiene una media ([tex]\(\mu\)[/tex]) de 9.
- [tex]\( X \)[/tex] tiene una desviación estándar ([tex]\(\sigma\)[/tex]) de 5.
2. Convertir los valores a puntuaciones z:
- Para un valor de 10: Calculamos su puntuación z.
[tex]\[
z_{\text{lower}} = \frac{10 - 9}{5} = 0.2
\][/tex]
- Para un valor de 15: Calculamos su puntuación z.
[tex]\[
z_{\text{upper}} = \frac{15 - 9}{5} = 1.2
\][/tex]
3. Utilizar la función de distribución acumulativa (CDF):
- La función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar nos ayuda a encontrar la probabilidad de que [tex]\( Z \)[/tex] sea menor o igual a un valor específico [tex]\( z \)[/tex].
- Calculamos la probabilidad acumulada correspondiente a [tex]\( z_{\text{lower}} \)[/tex] y [tex]\( z_{\text{upper}} \)[/tex]:
[tex]\[
P(10 < X \leq 15) = \text{CDF}(z_{\text{upper}}) - \text{CDF}(z_{\text{lower}})
\][/tex]
- Sabemos que:
[tex]\[
\text{CDF}(0.2) \approx 0.5793
\][/tex]
[tex]\[
\text{CDF}(1.2) \approx 0.8849
\][/tex]
4. Calcular la probabilidad:
- Restamos la probabilidad acumulada en [tex]\( z_{\text{lower}} \)[/tex] de la probabilidad acumulada en [tex]\( z_{\text{upper}} \)[/tex]:
[tex]\[
P(10 < X \leq 15) = 0.8849 - 0.5793 = 0.3056
\][/tex]
En conclusión, la probabilidad de que la variable aleatoria [tex]\( X \)[/tex] esté en el intervalo [tex]\( 10 < X \leq 15 \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 0.3057 \)[/tex].
