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Sagot :
¡Claro! Para graficar la función [tex]\( f(x) = \frac{1}{5}x^2 - 4 \)[/tex], es importante analizar cada uno de los componentes y cómo representan transformaciones en la gráfica de la función base [tex]\( x^2 \)[/tex]. Vamos a desglosar cada término y realizar las transformaciones paso a paso:
### 1. Función Base
La función base es [tex]\( g(x) = x^2 \)[/tex], que es una parábola estándar con vértice en el origen (0,0). Esta función se abre hacia arriba y es simétrica respecto al eje y.
### 2. Transformación Vertical de Compresión
[tex]\[ h(x) = \frac{1}{5}x^2 \][/tex]
La función [tex]\( \frac{1}{5}x^2 \)[/tex] es similar a [tex]\( x^2 \)[/tex] pero comprimida verticalmente por un factor de [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex]. Esta compresión hace que la parábola sea más ancha porque cada valor de [tex]\( y \)[/tex] es solo una quinta parte de lo que sería en [tex]\( x^2 \)[/tex].
### 3. Traslación Vertical
[tex]\[ f(x) = \frac{1}{5}x^2 - 4 \][/tex]
El término [tex]\( -4 \)[/tex] indica una traslación vertical hacia abajo en 4 unidades. Esto desplazará toda la parábola 4 unidades hacia abajo.
### Análisis Completo
Combinar todas estas transformaciones nos lleva de [tex]\( g(x) = x^2 \)[/tex] a [tex]\( f(x) = \frac{1}{5}x^2 - 4 \)[/tex]:
1. Tomamos la función parábola [tex]\( x^2 \)[/tex].
2. La comprimimos verticalmente por un factor de [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex], resultando en [tex]\( \frac{1}{5}x^2 \)[/tex].
3. Trasladamos toda la parábola hacia abajo 4 unidades, dando como resultado [tex]\( \frac{1}{5}x^2 - 4 \)[/tex].
### Pasos para Graficar
1. Dibuja la función base [tex]\( g(x) = x^2 \)[/tex] como una parábola que pasa por (0,0) y se abre hacia arriba.
2. Transfórmala verticalmente: Comprímela por un factor de [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex] para obtener [tex]\( h(x) = \frac{1}{5}x^2 \)[/tex]. Esto hará que la parábola sea más ancha. Cada punto [tex]\( y \)[/tex] en la parábola original se reduce a una quinta parte.
3. Traslada la parábola resultante hacia abajo 4 unidades: Toma [tex]\( h(x) \)[/tex] y mueve cada punto 4 unidades abajo para obtener [tex]\( f(x) = \frac{1}{5} x^2 - 4 \)[/tex].
### Reflejos en la Gráfica
- El vértice de la parábola original [tex]\( x^2 \)[/tex] era (0,0). Después de la compresión en [tex]\( \frac{1}{5}x^2 \)[/tex], el vértice sigue en (0,0). Al hacer la traslación vertical hacia abajo por 4 unidades, el vértice se mueve a (0, -4).
- La abertura de la parábola no cambia la dirección; sigue abriéndose hacia arriba, pero con una curva más suave debido a la compresión.
### Puntos Clave
- Vértice: (0, -4)
- La parábola se abre hacia arriba de manera más ancha que [tex]\( x^2 \)[/tex] debido a la compresión vertical.
- La gráfica intersecta al eje y en [tex]\( y = -4 \)[/tex] cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex].
### Graficando
Dibuja los ejes coordenados y marca el punto (0, -4) como el vértice. Traza la parábola asegurándote de que sea más ancha que la parábola estándar [tex]\( x^2 \)[/tex] debido al factor [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex].
Así, comprendiéndo estos pasos y sus transformaciones, puedes graficar [tex]\( f(x) = \frac{1}{5} x^2 - 4 \)[/tex] correctamente.
### 1. Función Base
La función base es [tex]\( g(x) = x^2 \)[/tex], que es una parábola estándar con vértice en el origen (0,0). Esta función se abre hacia arriba y es simétrica respecto al eje y.
### 2. Transformación Vertical de Compresión
[tex]\[ h(x) = \frac{1}{5}x^2 \][/tex]
La función [tex]\( \frac{1}{5}x^2 \)[/tex] es similar a [tex]\( x^2 \)[/tex] pero comprimida verticalmente por un factor de [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex]. Esta compresión hace que la parábola sea más ancha porque cada valor de [tex]\( y \)[/tex] es solo una quinta parte de lo que sería en [tex]\( x^2 \)[/tex].
### 3. Traslación Vertical
[tex]\[ f(x) = \frac{1}{5}x^2 - 4 \][/tex]
El término [tex]\( -4 \)[/tex] indica una traslación vertical hacia abajo en 4 unidades. Esto desplazará toda la parábola 4 unidades hacia abajo.
### Análisis Completo
Combinar todas estas transformaciones nos lleva de [tex]\( g(x) = x^2 \)[/tex] a [tex]\( f(x) = \frac{1}{5}x^2 - 4 \)[/tex]:
1. Tomamos la función parábola [tex]\( x^2 \)[/tex].
2. La comprimimos verticalmente por un factor de [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex], resultando en [tex]\( \frac{1}{5}x^2 \)[/tex].
3. Trasladamos toda la parábola hacia abajo 4 unidades, dando como resultado [tex]\( \frac{1}{5}x^2 - 4 \)[/tex].
### Pasos para Graficar
1. Dibuja la función base [tex]\( g(x) = x^2 \)[/tex] como una parábola que pasa por (0,0) y se abre hacia arriba.
2. Transfórmala verticalmente: Comprímela por un factor de [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex] para obtener [tex]\( h(x) = \frac{1}{5}x^2 \)[/tex]. Esto hará que la parábola sea más ancha. Cada punto [tex]\( y \)[/tex] en la parábola original se reduce a una quinta parte.
3. Traslada la parábola resultante hacia abajo 4 unidades: Toma [tex]\( h(x) \)[/tex] y mueve cada punto 4 unidades abajo para obtener [tex]\( f(x) = \frac{1}{5} x^2 - 4 \)[/tex].
### Reflejos en la Gráfica
- El vértice de la parábola original [tex]\( x^2 \)[/tex] era (0,0). Después de la compresión en [tex]\( \frac{1}{5}x^2 \)[/tex], el vértice sigue en (0,0). Al hacer la traslación vertical hacia abajo por 4 unidades, el vértice se mueve a (0, -4).
- La abertura de la parábola no cambia la dirección; sigue abriéndose hacia arriba, pero con una curva más suave debido a la compresión.
### Puntos Clave
- Vértice: (0, -4)
- La parábola se abre hacia arriba de manera más ancha que [tex]\( x^2 \)[/tex] debido a la compresión vertical.
- La gráfica intersecta al eje y en [tex]\( y = -4 \)[/tex] cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex].
### Graficando
Dibuja los ejes coordenados y marca el punto (0, -4) como el vértice. Traza la parábola asegurándote de que sea más ancha que la parábola estándar [tex]\( x^2 \)[/tex] debido al factor [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex].
Así, comprendiéndo estos pasos y sus transformaciones, puedes graficar [tex]\( f(x) = \frac{1}{5} x^2 - 4 \)[/tex] correctamente.
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