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Sagot :
Para resolver estas dos preguntas, usaremos la distribución binomial, ya que estamos tratando con eventos discretos donde cada evento tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.
Primera parte: Probabilidad de obtener 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada
1. Parámetros:
- La probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento es [tex]\( p = 0.5 \)[/tex].
- El número total de lanzamientos es [tex]\( n = 8 \)[/tex].
- El número deseado de caras es [tex]\( k = 5 \)[/tex].
2. Fórmula de la distribución binomial:
La probabilidad de obtener exactamente [tex]\( k \)[/tex] éxitos en [tex]\( n \)[/tex] pruebas se calcula usando la fórmula:
[tex]\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \][/tex]
donde [tex]\( \binom{n}{k} \)[/tex] es el número combinatorio que se calcula como:
[tex]\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \][/tex]
3. Cálculo:
Al usar esta fórmula, se obtiene que la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada es:
[tex]\[ P(X = 5) = 0.21875 \][/tex]
Segunda parte: Probabilidad de que 0, 1, 2, 3, 4 y 5 alumnos terminen la universidad
1. Parámetros:
- La probabilidad de que un alumno termine la universidad es [tex]\( p = 0.35 \)[/tex].
- El número total de alumnos es [tex]\( n = 5 \)[/tex].
2. Cálculo de probabilidades individuales usando la fórmula binomial:
Se calcula la probabilidad de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4 y 5 alumnos terminen la universidad de la siguiente manera:
- Para [tex]\( k = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 0) = 0.1160290625 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 1) = 0.3123859375 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 2) = 0.336415625 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 3) = 0.181146875 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 4) = 0.0487703125 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 5) = 0.0052521875 \][/tex]
En resumen, hemos calculado las probabilidades deseadas como sigue:
1. La probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada es [tex]\( 0.21875 \)[/tex].
2. Las probabilidades de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4 y 5 alumnos terminen la universidad son [tex]\( 0.1160290625 \)[/tex], [tex]\( 0.3123859375 \)[/tex], [tex]\( 0.336415625 \)[/tex], [tex]\( 0.181146875 \)[/tex], [tex]\( 0.0487703125 \)[/tex] y [tex]\( 0.0052521875 \)[/tex] respectivamente.
Primera parte: Probabilidad de obtener 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada
1. Parámetros:
- La probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento es [tex]\( p = 0.5 \)[/tex].
- El número total de lanzamientos es [tex]\( n = 8 \)[/tex].
- El número deseado de caras es [tex]\( k = 5 \)[/tex].
2. Fórmula de la distribución binomial:
La probabilidad de obtener exactamente [tex]\( k \)[/tex] éxitos en [tex]\( n \)[/tex] pruebas se calcula usando la fórmula:
[tex]\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \][/tex]
donde [tex]\( \binom{n}{k} \)[/tex] es el número combinatorio que se calcula como:
[tex]\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \][/tex]
3. Cálculo:
Al usar esta fórmula, se obtiene que la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada es:
[tex]\[ P(X = 5) = 0.21875 \][/tex]
Segunda parte: Probabilidad de que 0, 1, 2, 3, 4 y 5 alumnos terminen la universidad
1. Parámetros:
- La probabilidad de que un alumno termine la universidad es [tex]\( p = 0.35 \)[/tex].
- El número total de alumnos es [tex]\( n = 5 \)[/tex].
2. Cálculo de probabilidades individuales usando la fórmula binomial:
Se calcula la probabilidad de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4 y 5 alumnos terminen la universidad de la siguiente manera:
- Para [tex]\( k = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 0) = 0.1160290625 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 1) = 0.3123859375 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 2) = 0.336415625 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 3) = 0.181146875 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 4) = 0.0487703125 \][/tex]
- Para [tex]\( k = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ P(X = 5) = 0.0052521875 \][/tex]
En resumen, hemos calculado las probabilidades deseadas como sigue:
1. La probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada es [tex]\( 0.21875 \)[/tex].
2. Las probabilidades de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4 y 5 alumnos terminen la universidad son [tex]\( 0.1160290625 \)[/tex], [tex]\( 0.3123859375 \)[/tex], [tex]\( 0.336415625 \)[/tex], [tex]\( 0.181146875 \)[/tex], [tex]\( 0.0487703125 \)[/tex] y [tex]\( 0.0052521875 \)[/tex] respectivamente.
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