Para responder a las preguntas enunciadas, vamos a trabajar con el conjunto [tex]$M = \{a, b, c\}$[/tex] y entender cómo se forma su conjunto de partes, junto con determinar cuántos elementos tiene el conjunto de partes de un conjunto con [tex]$n$[/tex] elementos.
### 93. Escribir el conjunto de partes del conjunto [tex]\( M = \{a, b, c\} \)[/tex].
El conjunto de partes de un conjunto es el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de dicho conjunto, incluyendo el conjunto vacío y el propio conjunto. Para [tex]\( M = \{a, b, c\} \)[/tex], los subconjuntos posibles son:
1. El subconjunto vacío: [tex]\(\varnothing\)[/tex]
2. Los subconjuntos de un solo elemento: [tex]\(\{a\}\)[/tex], [tex]\(\{b\}\)[/tex], [tex]\(\{c\}\)[/tex]
3. Los subconjuntos de dos elementos: [tex]\(\{a, b\}\)[/tex], [tex]\(\{a, c\}\)[/tex], [tex]\(\{b, c\}\)[/tex]
4. El subconjunto con todos los elementos del conjunto original: [tex]\(\{a, b, c\}\)[/tex]
Ahora, escribimos el conjunto de partes completo:
[tex]\[
P(M) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}
\][/tex]
### 94. Determinar cuántos elementos tiene el conjunto de partes de un conjunto que tiene [tex]\( n \)[/tex] elementos.
Para un conjunto de [tex]\( n \)[/tex] elementos, el conjunto de partes tiene [tex]\( 2^n \)[/tex] elementos. Este resultado se deriva del hecho de que cada elemento en el conjunto original puede estar o no estar en un subconjunto, lo que da como resultado un total de [tex]\( 2 \)[/tex] posibilidades por elemento (incluido o no incluido).
- En el caso de [tex]\( M = \{a, b, c\} \)[/tex], donde el número de elementos [tex]\( n = 3 \)[/tex], el número total de subconjuntos que forman el conjunto de partes sería [tex]\( 2^3 = 8 \)[/tex].
En resumen:
- El conjunto de partes de [tex]\( M = \{a, b, c\} \)[/tex] es:
[tex]\[
P(M) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}
\][/tex]
- El número de elementos del conjunto de partes para un conjunto con [tex]\( n \)[/tex] elementos se calcula como [tex]\( 2^n \)[/tex]. Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], tenemos [tex]\( 2^3 = 8 \)[/tex]. Por lo tanto, el conjunto de partes de [tex]\( M \)[/tex] tiene 8 elementos.
