Para resolver la ecuación:
[tex]\[ 3 = 16(x^2 + 6x + 9)^2 + 75 \][/tex]
sigue estos pasos:
1. Lo primero que haremos es aislar el término cuadrado.
Restamos 75 de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ 3 - 75 = 16(x^2 + 6x + 9)^2 \][/tex]
Esto simplifica a:
[tex]\[ -72 = 16(x^2 + 6x + 9)^2 \][/tex]
2. Ahora, dividimos ambos lados de la ecuación entre 16 para simplificarla:
[tex]\[ \frac{-72}{16} = (x^2 + 6x + 9)^2 \][/tex]
Esto da:
[tex]\[ -4.5 = (x^2 + 6x + 9)^2 \][/tex]
3. A continuación, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Sin embargo, es importante recordar que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
[tex]\[ \sqrt{-4.5} = x^2 + 6x + 9 \][/tex]
Dado que no existen números reales cuya raíz cuadrada sea negativa, concluimos que la ecuación no tiene soluciones reales.
Por lo tanto, la solución a esta ecuación es:
[tex]\[ \boxed{\text{No hay soluciones reales}} \][/tex]
