Para reducir la expresión [tex]\( M = \frac{2^{n+4} - 2^{n+3} + 2^{n+2}}{2^{n+5} - 2^{n+4}} \)[/tex], seguiremos los siguientes pasos:
### Paso 1: Identificar términos comunes
Primero, observemos los términos en el numerador y el denominador:
- Numerador: [tex]\( 2^{n+4} - 2^{n+3} + 2^{n+2} \)[/tex]
- Denominador: [tex]\( 2^{n+5} - 2^{n+4} \)[/tex]
Ambos expresiones contienen potencias de 2.
### Paso 2: Factorizar potencias comunes
A continuación, factorizamos el término común en ambos casos:
Numerador:
[tex]\[ 2^{n+4} - 2^{n+3} + 2^{n+2} \][/tex]
Podemos factorizar [tex]\( 2^{n+2} \)[/tex] en el numerador:
[tex]\[ 2^{n+2} (2^2 - 2^1 + 1) \][/tex]
[tex]\[ 2^{n+2} (4 - 2 + 1) \][/tex]
[tex]\[ 2^{n+2} \cdot 3 \][/tex]
Denominador:
[tex]\[ 2^{n+5} - 2^{n+4} \][/tex]
Podemos factorizar [tex]\( 2^{n+4} \)[/tex] en el denominador:
[tex]\[ 2^{n+4} (2^1 - 1) \][/tex]
[tex]\[ 2^{n+4} \cdot 1 (2 - 1) \][/tex]
[tex]\[ 2^{n+4} \cdot 1 \][/tex]
### Paso 3: Simplificación de factores comunes
Ahora reemplazamos estos términos factorizados en la expresión original [tex]\( M \)[/tex]:
[tex]\[ M = \frac{2^{n+2} \cdot 3}{2^{n+4} \cdot 1} \][/tex]
Simplificamos eliminando el factor común [tex]\( 2^{n+2} \)[/tex]:
[tex]\[ M = \frac{3}{2^{n+4 - (n+2)}} \][/tex]
[tex]\[ M = \frac{3}{2^2} \][/tex]
[tex]\[ M = \frac{3}{4} \][/tex]
### Conclusión
Entonces, la expresión simplificada de [tex]\( M \)[/tex] es:
[tex]\[ M = \frac{3}{4} \][/tex]
Hemos reducido exitosamente la fracción [tex]\( \frac{2^{n+4} - 2^{n+3} + 2^{n+2}}{2^{n+5} - 2^{n+4}} \)[/tex] a [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex].
