Claro, vamos calcular a expressão [tex]\( M=\frac{2^{n+6} - 8 \cdot 2^{n+1}}{10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1}} \)[/tex] passo a passo.
### Passo 1: Simplificação do Numerador
No numerador temos:
[tex]\[ 2^{n+6} - 8 \cdot 2^{n+1} \][/tex]
Podemos reescrever [tex]\( 8 \cdot 2^{n+1} \)[/tex] como [tex]\( 2^3 \cdot 2^{n+1} \)[/tex], que é igual a [tex]\( 2^{n+4} \)[/tex]:
[tex]\[ 8 \cdot 2^{n+1} = 2^3 \cdot 2^{n+1} = 2^{n+4} \][/tex]
Portanto, o numerador se torna:
[tex]\[ 2^{n+6} - 2^{n+4} \][/tex]
### Passo 2: Simplificação do Denominador
No denominador temos:
[tex]\[ 10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1} \][/tex]
Podemos reescrever [tex]\( 10 \cdot 2^{n-1} \)[/tex]:
[tex]\[ 10 \cdot 2^{n-1} \][/tex]
Já [tex]\( 3 \cdot 2^{n+1} \)[/tex] permanece como está.
Então, o denominador é:
[tex]\[ 10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1} \][/tex]
### Passo 3: Combinar as Partes e Simplificar
Vamos agora combinar as expressões simplificadas tanto do numerador quanto do denominador na nossa fração [tex]\( M \)[/tex].
Então, a expressão final para [tex]\( M \)[/tex] é:
[tex]\[ M = \frac{2^{n+6} - 2^{n+4}}{10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1}} \][/tex]
### Passo 4: Simplificação Final da Fração
Para simplificar completamente, podemos notar que ao fatorar termos equivalentes de potências de 2 entre o numerador e o denominador, a expressão se reduz a uma constante:
Ao final, com a simplificação feita, a expressão [tex]\( M \)[/tex] resulta em:
[tex]\[ M = 48/11 \][/tex]
Portanto, a resposta final é [tex]\(\boxed{\frac{48}{11}}\)[/tex].
