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Sagot :
Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
## 1. Encontrar las raíces de la función cuadrática
La función cuadrática que tenemos es:
[tex]\[ f(x) = 4x^2 + 5x + 3 \][/tex]
Para encontrar las raíces de esta función, usaremos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] son los coeficientes de la ecuación cuadrática [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex].
### Identificar los coeficientes
Para nuestra ecuación [tex]\(4x^2 + 5x + 3\)[/tex]:
[tex]\[ a = 4, \quad b = 5, \quad c = 3 \][/tex]
### Calcular el discriminante
El discriminante ([tex]\(\Delta\)[/tex]) se calcula como:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 25 - 48 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = -23 \][/tex]
### Determinar las raíces
Como el discriminante es negativo ([tex]\(\Delta = -23\)[/tex]), la ecuación no tiene raíces reales. En cambio, tiene dos raíces complejas.
Las raíces se calculan como:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
Debido a que el discriminante es negativo, nuestras raíces serán complejas. La raíz cuadrada de un número negativo se expresa en términos de [tex]\(i\)[/tex], donde [tex]\(i\)[/tex] es la unidad imaginaria ([tex]\(i = \sqrt{-1}\)[/tex]).
[tex]\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-23} = \sqrt{23}i \][/tex]
Por lo tanto, las raíces son:
[tex]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{23}i}{2a} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{23}i}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{23}i}{8} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-5 - \sqrt{23}i}{8} \][/tex]
Específicamente:
[tex]\[ x_1 = -\frac{5}{8} + \frac{\sqrt{23}}{8}i \quad \text{y} \quad x_2 = -\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{23}}{8}i \][/tex]
Estas son las raíces de la función cuadrática.
## 2. Graficar la función
Aunque las raíces son complejas y no se pueden ver directamente en el eje [tex]\(x\)[/tex]-[tex]\(y\)[/tex], la gráfica de la función [tex]\(f(x) = 4x^2 + 5x + 3\)[/tex] es una parábola que abre hacia arriba (porque el coeficiente de [tex]\(x^2\)[/tex] es positivo).
### Características de la gráfica:
1. Vértice: Podemos encontrar las coordenadas del vértice utilizando la fórmula de la coordenada [tex]\(x\)[/tex] del vértice:
[tex]\[ x = \frac{-b}{2a} \][/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ x = \frac{-5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8} \][/tex]
Para encontrar la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice, sustituimos [tex]\(x = -\frac{5}{8}\)[/tex] en la función:
[tex]\[ y = 4\left(-\frac{5}{8}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{8}\right) + 3 \][/tex]
[tex]\[ y = 4\left(\frac{25}{64}\right) - \frac{25}{8} + 3 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{100}{64} - \frac{200}{64} + \frac{192}{64} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{100 - 200 + 192}{64} = \frac{92}{64} = \frac{23}{16} \][/tex]
Entonces, el vértice está en el punto [tex]\(\left(-\frac{5}{8}, \frac{23}{16}\right)\)[/tex].
2. Intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex]: Es el punto donde [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ f(0) = 4(0)^2 + 5(0) + 3 = 3 \][/tex]
La parábola corta el eje [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\((0, 3)\)[/tex].
Ahora, ya sabemos cómo graficar la función. La gráfica consiste en una parábola que abre hacia arriba con un vértice en [tex]\(\left(-\frac{5}{8}, \frac{23}{16}\right)\)[/tex] y que corta el eje [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\((0, 3)\)[/tex].
Buena suerte con tu gráfica, ¡y no dudes en hacer preguntas si necesitas más ayuda!
## 1. Encontrar las raíces de la función cuadrática
La función cuadrática que tenemos es:
[tex]\[ f(x) = 4x^2 + 5x + 3 \][/tex]
Para encontrar las raíces de esta función, usaremos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] son los coeficientes de la ecuación cuadrática [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex].
### Identificar los coeficientes
Para nuestra ecuación [tex]\(4x^2 + 5x + 3\)[/tex]:
[tex]\[ a = 4, \quad b = 5, \quad c = 3 \][/tex]
### Calcular el discriminante
El discriminante ([tex]\(\Delta\)[/tex]) se calcula como:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 25 - 48 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = -23 \][/tex]
### Determinar las raíces
Como el discriminante es negativo ([tex]\(\Delta = -23\)[/tex]), la ecuación no tiene raíces reales. En cambio, tiene dos raíces complejas.
Las raíces se calculan como:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
Debido a que el discriminante es negativo, nuestras raíces serán complejas. La raíz cuadrada de un número negativo se expresa en términos de [tex]\(i\)[/tex], donde [tex]\(i\)[/tex] es la unidad imaginaria ([tex]\(i = \sqrt{-1}\)[/tex]).
[tex]\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-23} = \sqrt{23}i \][/tex]
Por lo tanto, las raíces son:
[tex]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{23}i}{2a} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{23}i}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{23}i}{8} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-5 - \sqrt{23}i}{8} \][/tex]
Específicamente:
[tex]\[ x_1 = -\frac{5}{8} + \frac{\sqrt{23}}{8}i \quad \text{y} \quad x_2 = -\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{23}}{8}i \][/tex]
Estas son las raíces de la función cuadrática.
## 2. Graficar la función
Aunque las raíces son complejas y no se pueden ver directamente en el eje [tex]\(x\)[/tex]-[tex]\(y\)[/tex], la gráfica de la función [tex]\(f(x) = 4x^2 + 5x + 3\)[/tex] es una parábola que abre hacia arriba (porque el coeficiente de [tex]\(x^2\)[/tex] es positivo).
### Características de la gráfica:
1. Vértice: Podemos encontrar las coordenadas del vértice utilizando la fórmula de la coordenada [tex]\(x\)[/tex] del vértice:
[tex]\[ x = \frac{-b}{2a} \][/tex]
Sustituyendo:
[tex]\[ x = \frac{-5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8} \][/tex]
Para encontrar la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice, sustituimos [tex]\(x = -\frac{5}{8}\)[/tex] en la función:
[tex]\[ y = 4\left(-\frac{5}{8}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{8}\right) + 3 \][/tex]
[tex]\[ y = 4\left(\frac{25}{64}\right) - \frac{25}{8} + 3 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{100}{64} - \frac{200}{64} + \frac{192}{64} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{100 - 200 + 192}{64} = \frac{92}{64} = \frac{23}{16} \][/tex]
Entonces, el vértice está en el punto [tex]\(\left(-\frac{5}{8}, \frac{23}{16}\right)\)[/tex].
2. Intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex]: Es el punto donde [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ f(0) = 4(0)^2 + 5(0) + 3 = 3 \][/tex]
La parábola corta el eje [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\((0, 3)\)[/tex].
Ahora, ya sabemos cómo graficar la función. La gráfica consiste en una parábola que abre hacia arriba con un vértice en [tex]\(\left(-\frac{5}{8}, \frac{23}{16}\right)\)[/tex] y que corta el eje [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\((0, 3)\)[/tex].
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