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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver y graficar la función [tex]\(F(x) = x^2 + 5x + 3\)[/tex].
### Paso 1: Identificar los Componentes de la Función
La función dada es un polinomio cuadrático de la forma:
[tex]\[ F(x) = ax^2 + bx + c \][/tex]
donde:
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 5\)[/tex]
- [tex]\(c = 3\)[/tex]
### Paso 2: Determinar el Vértice de la Parábola
El vértice de una parábola de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c\)[/tex] se encuentra en:
[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]
Calculamos esto con los valores dados:
[tex]\[ x = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2} = -2.5 \][/tex]
Para encontrar la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice, sustituimos [tex]\(x = -2.5\)[/tex] en la función [tex]\(F(x)\)[/tex]:
[tex]\[ F(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 3 \][/tex]
[tex]\[ = 6.25 - 12.5 + 3 \][/tex]
[tex]\[ = -3.25 \][/tex]
Entonces, el vértice de la parábola es [tex]\((-2.5, -3.25)\)[/tex].
### Paso 3: Encontrar las Intersecciones con los Ejes
#### Intersección con el Eje [tex]\(y\)[/tex]
La intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] es cuando [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ F(0) = 0^2 + 5(0) + 3 = 3 \][/tex]
Entonces, la intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] es en [tex]\((0, 3)\)[/tex].
#### Intersección con el Eje [tex]\(x\)[/tex]
Para encontrar las intersecciones con el eje [tex]\(x\)[/tex], resolvemos [tex]\(F(x) = 0\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 5x + 3 = 0 \][/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \][/tex]
Entonces, las soluciones son:
[tex]\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2} \][/tex]
Estas son las intersecciones con el eje [tex]\(x\)[/tex].
### Paso 4: Graficar la Función
Para graficar la parábola, trazamos los siguientes puntos importantes:
- El vértice: [tex]\((-2.5, -3.25)\)[/tex]
- La intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex]: [tex]\((0, 3)\)[/tex]
- Las intersecciones con el eje [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(\left( \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, 0 \right)\)[/tex] y [tex]\(\left( \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}, 0 \right)\)[/tex]
Luego, trazamos la curva cuadrática que pasa a través de estos puntos. La parábola se abrirá hacia arriba porque el coeficiente de [tex]\(x^2\)[/tex] es positivo ([tex]\(a > 0\)[/tex]).
#### Ejemplo de Cómo se Vería la Gráfica
```text
15 + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
10 + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
5 + + + + +
+ + + + +
y + + + -2.5,-3.25 + +
+ + + + +
+ 0,3 + + +
0 +===================================+================== x
- + + + +
- + + + +
- + + + +
-5 - + + + +
- + + + +
- + + + +
- + + + +
-5-sqrt(13)/2 -2.5 +sqrt(13)/2
```
Esto es un gráfico esquemático, para la exactitud se recomienda usar herramientas de graficación en matemáticas.
### Paso 1: Identificar los Componentes de la Función
La función dada es un polinomio cuadrático de la forma:
[tex]\[ F(x) = ax^2 + bx + c \][/tex]
donde:
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 5\)[/tex]
- [tex]\(c = 3\)[/tex]
### Paso 2: Determinar el Vértice de la Parábola
El vértice de una parábola de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c\)[/tex] se encuentra en:
[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]
Calculamos esto con los valores dados:
[tex]\[ x = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2} = -2.5 \][/tex]
Para encontrar la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice, sustituimos [tex]\(x = -2.5\)[/tex] en la función [tex]\(F(x)\)[/tex]:
[tex]\[ F(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 3 \][/tex]
[tex]\[ = 6.25 - 12.5 + 3 \][/tex]
[tex]\[ = -3.25 \][/tex]
Entonces, el vértice de la parábola es [tex]\((-2.5, -3.25)\)[/tex].
### Paso 3: Encontrar las Intersecciones con los Ejes
#### Intersección con el Eje [tex]\(y\)[/tex]
La intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] es cuando [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ F(0) = 0^2 + 5(0) + 3 = 3 \][/tex]
Entonces, la intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] es en [tex]\((0, 3)\)[/tex].
#### Intersección con el Eje [tex]\(x\)[/tex]
Para encontrar las intersecciones con el eje [tex]\(x\)[/tex], resolvemos [tex]\(F(x) = 0\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + 5x + 3 = 0 \][/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \][/tex]
Entonces, las soluciones son:
[tex]\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2} \][/tex]
Estas son las intersecciones con el eje [tex]\(x\)[/tex].
### Paso 4: Graficar la Función
Para graficar la parábola, trazamos los siguientes puntos importantes:
- El vértice: [tex]\((-2.5, -3.25)\)[/tex]
- La intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex]: [tex]\((0, 3)\)[/tex]
- Las intersecciones con el eje [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(\left( \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, 0 \right)\)[/tex] y [tex]\(\left( \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}, 0 \right)\)[/tex]
Luego, trazamos la curva cuadrática que pasa a través de estos puntos. La parábola se abrirá hacia arriba porque el coeficiente de [tex]\(x^2\)[/tex] es positivo ([tex]\(a > 0\)[/tex]).
#### Ejemplo de Cómo se Vería la Gráfica
```text
15 + + + + +
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10 + + + + +
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5 + + + + +
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y + + + -2.5,-3.25 + +
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+ 0,3 + + +
0 +===================================+================== x
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-5 - + + + +
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-5-sqrt(13)/2 -2.5 +sqrt(13)/2
```
Esto es un gráfico esquemático, para la exactitud se recomienda usar herramientas de graficación en matemáticas.
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