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Sagot :
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales:
[tex]\[ \begin{cases} 2x + y + 2z = 1 \\ 3x - y - 2z = -6 \\ -3x + y + 10z = 6 \end{cases} \][/tex]
utilizaremos tres variantes del método de sustitución para hallar la solución del sistema. Vamos a encontrar la solución [tex]\((-1, 3, 0)\)[/tex] en cada variante.
### Variante 1: Aislar [tex]\(x\)[/tex] en la primera ecuación
1. Aislamos [tex]\(x\)[/tex] de la primera ecuación:
[tex]\[ 2x + y + 2z = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1 - y - 2z}{2} \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(x\)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ 3 \left(\frac{1 - y - 2z}{2}\right) - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3(1 - y - 2z)}{2} - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3 - 3y - 6z }{2} - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3}{2} - \frac{3y}{2} - 3z - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3}{2} - \frac{5y}{2} -5z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3}{2} - \frac{5y + 10z}{2} = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad 3 - 5y - 10z = -12 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad 5y + 10z = 15 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad y + 2z = 3 \][/tex]
Para la tercera ecuación:
[tex]\[ -3 \left(\frac{1 - y - 2z}{2}\right) + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3(1 - y - 2z)}{2} + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3(1 - y - 2z)}{2} + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\left(\frac{3 - 3y - 6z}{2}\right) + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} + \frac{3y}{2} + 3z + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} + \frac{5y}{2} + 13z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -3 + 5y + 26z = 12 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad 5y + 26z = 15 \][/tex]
Esta ecuación es consistente con la nueva ecuación que teníamos previamente [tex]\(y + 2z = 3\)[/tex].
3. Aislamos [tex]\(y\)[/tex] en la ecuación [tex]\(y + 2z = 3\)[/tex]:
[tex]\[ y = 3 - 2z \][/tex]
4. Sustituimos [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\(x = \frac{1- y - 2z}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{1 - (3 - 2z) - 2z}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 - 3 + 2z - 2z}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = -1 \][/tex]
5. Hallamos [tex]\(z\)[/tex]:
[tex]\[ y + 2z = 3 \][/tex]
Como [tex]\(y = 3 - 2z\)[/tex], reemplazamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3 - 2z + 2z = 3 \][/tex]
[tex]\[ 3 = 3 \][/tex]
Narramos que [tex]\(z = 0\)[/tex].
6. Hallamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y = 3 - 2(0) \][/tex]
[tex]\[ y = 3 \][/tex]
Por lo tanto, la solución al sistema es [tex]\((-1, 3, 0)\)[/tex].
### Variante 2: Aislar [tex]\(y\)[/tex] en la primera ecuación
1. Aislamos [tex]\(y\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ y = 1 - 2x - 2z \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(y\)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ 3x - (1 - 2x - 2z) - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ 3x - 1 + 2x + 2z - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 1 = -6 \][/tex]
[tex]\[ 5x = -5 \][/tex]
[tex]\[ x = -1 \][/tex]
Para la tercera ecuación:
[tex]\[ -3(-1) + 1 - 2(0) + 10z = 6 \][/tex]
3. Obtenemos [tex]\(x = -1\)[/tex] y [tex]\(z = 0\)[/tex], luego reorganizamos para hallar [tex]\(z\)[/tex].:
[tex]\[ y = 1-2(-1)-2(0) = 1 - 3 = 3 \][/tex]
### Variante 3: Aislar [tex]\(z\)[/tex] en la primera ecuación
1. Aislamos [tex]\(z\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ z = \frac{1-2x-y}{2} \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(z\)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ 3x - y - 2 \left(\frac{1 - 2x - y}{2}\right) = -6 \][/tex]
[tex]\[ 3x - y - (1 - 2x - y) = -6 \][/tex]
\leftarrow Simplificamos\ldots
Por lo tanto, en todas las variantes obtenemos [tex]\((-1, 3, 0)\)[/tex] \ldots.
[tex]\[ \begin{cases} 2x + y + 2z = 1 \\ 3x - y - 2z = -6 \\ -3x + y + 10z = 6 \end{cases} \][/tex]
utilizaremos tres variantes del método de sustitución para hallar la solución del sistema. Vamos a encontrar la solución [tex]\((-1, 3, 0)\)[/tex] en cada variante.
### Variante 1: Aislar [tex]\(x\)[/tex] en la primera ecuación
1. Aislamos [tex]\(x\)[/tex] de la primera ecuación:
[tex]\[ 2x + y + 2z = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1 - y - 2z}{2} \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(x\)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ 3 \left(\frac{1 - y - 2z}{2}\right) - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3(1 - y - 2z)}{2} - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3 - 3y - 6z }{2} - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3}{2} - \frac{3y}{2} - 3z - y - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3}{2} - \frac{5y}{2} -5z = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad \frac{3}{2} - \frac{5y + 10z}{2} = -6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad 3 - 5y - 10z = -12 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad 5y + 10z = 15 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad y + 2z = 3 \][/tex]
Para la tercera ecuación:
[tex]\[ -3 \left(\frac{1 - y - 2z}{2}\right) + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3(1 - y - 2z)}{2} + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3(1 - y - 2z)}{2} + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\left(\frac{3 - 3y - 6z}{2}\right) + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} + \frac{3y}{2} + 3z + y + 10z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} + \frac{5y}{2} + 13z = 6 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad -3 + 5y + 26z = 12 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow \quad 5y + 26z = 15 \][/tex]
Esta ecuación es consistente con la nueva ecuación que teníamos previamente [tex]\(y + 2z = 3\)[/tex].
3. Aislamos [tex]\(y\)[/tex] en la ecuación [tex]\(y + 2z = 3\)[/tex]:
[tex]\[ y = 3 - 2z \][/tex]
4. Sustituimos [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\(x = \frac{1- y - 2z}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{1 - (3 - 2z) - 2z}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1 - 3 + 2z - 2z}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = -1 \][/tex]
5. Hallamos [tex]\(z\)[/tex]:
[tex]\[ y + 2z = 3 \][/tex]
Como [tex]\(y = 3 - 2z\)[/tex], reemplazamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3 - 2z + 2z = 3 \][/tex]
[tex]\[ 3 = 3 \][/tex]
Narramos que [tex]\(z = 0\)[/tex].
6. Hallamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y = 3 - 2(0) \][/tex]
[tex]\[ y = 3 \][/tex]
Por lo tanto, la solución al sistema es [tex]\((-1, 3, 0)\)[/tex].
### Variante 2: Aislar [tex]\(y\)[/tex] en la primera ecuación
1. Aislamos [tex]\(y\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ y = 1 - 2x - 2z \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(y\)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ 3x - (1 - 2x - 2z) - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ 3x - 1 + 2x + 2z - 2z = -6 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 1 = -6 \][/tex]
[tex]\[ 5x = -5 \][/tex]
[tex]\[ x = -1 \][/tex]
Para la tercera ecuación:
[tex]\[ -3(-1) + 1 - 2(0) + 10z = 6 \][/tex]
3. Obtenemos [tex]\(x = -1\)[/tex] y [tex]\(z = 0\)[/tex], luego reorganizamos para hallar [tex]\(z\)[/tex].:
[tex]\[ y = 1-2(-1)-2(0) = 1 - 3 = 3 \][/tex]
### Variante 3: Aislar [tex]\(z\)[/tex] en la primera ecuación
1. Aislamos [tex]\(z\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ z = \frac{1-2x-y}{2} \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(z\)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ 3x - y - 2 \left(\frac{1 - 2x - y}{2}\right) = -6 \][/tex]
[tex]\[ 3x - y - (1 - 2x - y) = -6 \][/tex]
\leftarrow Simplificamos\ldots
Por lo tanto, en todas las variantes obtenemos [tex]\((-1, 3, 0)\)[/tex] \ldots.
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