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Sagot :
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales paso a paso usando el método de sustitución.
Dado el sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{cases} x - y + z = \frac{11}{5} \quad \text{(1)} \\ 2y + z = \frac{1}{5} \quad \text{(2)} \\ 10z = 2 \quad \text{(3)} \end{cases} \][/tex]
Paso 1: Resolver la ecuación (3) para [tex]\( z \)[/tex]
La tercera ecuación es:
[tex]\[ 10z = 2 \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 10:
[tex]\[ z = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \][/tex]
Paso 2: Sustituir [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex] en la ecuación (2) para encontrar [tex]\( y \)[/tex]
La segunda ecuación es:
[tex]\[ 2y + z = \frac{1}{5} \][/tex]
Sustituimos [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[ 2y + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 2y = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 0 \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 2:
[tex]\[ y = 0 \][/tex]
Paso 3: Sustituir [tex]\( y = 0 \)[/tex] y [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex] en la ecuación (1) para encontrar [tex]\( x \)[/tex]
La primera ecuación es:
[tex]\[ x - y + z = \frac{11}{5} \][/tex]
Sustituimos [tex]\( y = 0 \)[/tex] y [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[ x - 0 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ x + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ x = \frac{11}{5} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2 \][/tex]
Solución:
Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y, z) = \left(2, 0, \frac{1}{5}\right) \][/tex]
Verificación:
Verificamos la solución en las tres ecuaciones originales:
1. Primera ecuación:
[tex]\[ x - y + z = 2 - 0 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \][/tex]
2. Segunda ecuación:
[tex]\[ 2y + z = 2 \cdot 0 + \frac{1}{5} = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \][/tex]
3. Tercera ecuación:
[tex]\[ 10z = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2 \][/tex]
Dado que la solución verifica todas las ecuaciones, hemos confirmado que la solución del sistema es:
[tex]\[ \left(2, 0, \frac{1}{5}\right) \][/tex]
Dado el sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{cases} x - y + z = \frac{11}{5} \quad \text{(1)} \\ 2y + z = \frac{1}{5} \quad \text{(2)} \\ 10z = 2 \quad \text{(3)} \end{cases} \][/tex]
Paso 1: Resolver la ecuación (3) para [tex]\( z \)[/tex]
La tercera ecuación es:
[tex]\[ 10z = 2 \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 10:
[tex]\[ z = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \][/tex]
Paso 2: Sustituir [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex] en la ecuación (2) para encontrar [tex]\( y \)[/tex]
La segunda ecuación es:
[tex]\[ 2y + z = \frac{1}{5} \][/tex]
Sustituimos [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[ 2y + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 2y = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 0 \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 2:
[tex]\[ y = 0 \][/tex]
Paso 3: Sustituir [tex]\( y = 0 \)[/tex] y [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex] en la ecuación (1) para encontrar [tex]\( x \)[/tex]
La primera ecuación es:
[tex]\[ x - y + z = \frac{11}{5} \][/tex]
Sustituimos [tex]\( y = 0 \)[/tex] y [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[ x - 0 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ x + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ x = \frac{11}{5} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2 \][/tex]
Solución:
Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y, z) = \left(2, 0, \frac{1}{5}\right) \][/tex]
Verificación:
Verificamos la solución en las tres ecuaciones originales:
1. Primera ecuación:
[tex]\[ x - y + z = 2 - 0 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \][/tex]
2. Segunda ecuación:
[tex]\[ 2y + z = 2 \cdot 0 + \frac{1}{5} = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \][/tex]
3. Tercera ecuación:
[tex]\[ 10z = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2 \][/tex]
Dado que la solución verifica todas las ecuaciones, hemos confirmado que la solución del sistema es:
[tex]\[ \left(2, 0, \frac{1}{5}\right) \][/tex]
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