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Sagot :
Para determinar la fórmula que da el término general en función de [tex]\( n \)[/tex] en la secuencia dada: 3, 6, 11, 18, ..., debemos analizar las opciones proporcionadas y ver cuál de ellas se ajusta a los términos de la secuencia.
Vamos a evaluar cada opción:
Opción (A): [tex]\( 2n \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 1 = 2 \)[/tex] (no coincide con el primer término 3).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 2 = 4 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 3 = 6 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 4 = 8 \)[/tex] (no coincide).
Opción (B): [tex]\( 2n - 1 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 1 - 1 = 1 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 2 - 1 = 3 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 3 - 1 = 5 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 4 - 1 = 7 \)[/tex] (no coincide).
Opción (C): [tex]\( 3n \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 1 = 3 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 2 = 6 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 3 = 9 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 4 = 12 \)[/tex] (no coincide).
Opción (D): [tex]\( n^2 - 1 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 1^2 - 1 = 0 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2^2 - 1 = 3 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 3^2 - 1 = 8 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 4^2 - 1 = 15 \)[/tex] (no coincide).
Opción (E): [tex]\( n^2 + 2 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 1^2 + 2 = 3 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2^2 + 2 = 6 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 3^2 + 2 = 11 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 4^2 + 2 = 18 \)[/tex] (coincide).
La opción que coincide con todos los términos de la secuencia es la Opción (E): [tex]\( n^2 + 2 \)[/tex].
Por lo tanto, la fórmula que da el término general en función de [tex]\( n \)[/tex] en la secuencia es
[tex]\[ n^2 + 2 \][/tex]
Vamos a evaluar cada opción:
Opción (A): [tex]\( 2n \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 1 = 2 \)[/tex] (no coincide con el primer término 3).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 2 = 4 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 3 = 6 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 4 = 8 \)[/tex] (no coincide).
Opción (B): [tex]\( 2n - 1 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 1 - 1 = 1 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 2 - 1 = 3 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 3 - 1 = 5 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 2 \cdot 4 - 1 = 7 \)[/tex] (no coincide).
Opción (C): [tex]\( 3n \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 1 = 3 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 2 = 6 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 3 = 9 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 3 \cdot 4 = 12 \)[/tex] (no coincide).
Opción (D): [tex]\( n^2 - 1 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 1^2 - 1 = 0 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2^2 - 1 = 3 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 3^2 - 1 = 8 \)[/tex] (no coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 4^2 - 1 = 15 \)[/tex] (no coincide).
Opción (E): [tex]\( n^2 + 2 \)[/tex]
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( 1^2 + 2 = 3 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( 2^2 + 2 = 6 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( 3^2 + 2 = 11 \)[/tex] (coincide).
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( 4^2 + 2 = 18 \)[/tex] (coincide).
La opción que coincide con todos los términos de la secuencia es la Opción (E): [tex]\( n^2 + 2 \)[/tex].
Por lo tanto, la fórmula que da el término general en función de [tex]\( n \)[/tex] en la secuencia es
[tex]\[ n^2 + 2 \][/tex]
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