Para resolver el problema, primero vamos a utilizar la información proporcionada, que es [tex]\(3^x = 2\)[/tex], para simplificar la expresión dada:
[tex]\[ S = \frac{3^{x+2} + 6 \cdot 3^{-x}}{3^{2x} + 27^x} \][/tex]
1. Reemplazo y simplificación:
Dado que [tex]\(3^x = 2\)[/tex], podemos reescribir las potencias de 3 en términos de 2.
- Para [tex]\(3^{x+2}\)[/tex], se tiene:
[tex]\[ 3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \][/tex]
- Para [tex]\(6 \cdot 3^{-x}\)[/tex], se tiene:
[tex]\[ 3^{-x} = \frac{1}{3^x} = \frac{1}{2} \][/tex]
[tex]\[ 6 \cdot 3^{-x} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \][/tex]
- Para [tex]\(3^{2x}\)[/tex], se tiene:
[tex]\[ 3^{2x} = (3^x)^2 = 2^2 = 4 \][/tex]
- Para [tex]\(27^x\)[/tex], se tiene:
[tex]\[ 27 = 3^3 \Rightarrow 27^x = (3^3)^x = 3^{3x} = (3^x)^3 = 2^3 = 8 \][/tex]
Sustituimos estas simplificaciones en la fórmula original [tex]\(S\)[/tex].
2. Sustitución en la fórmula de [tex]\(S\)[/tex]:
Sustituimos estos valores en la fórmula de [tex]\(S\)[/tex]:
[tex]\[ S = \frac{3^{x+2} + 6 \cdot 3^{-x}}{3^{2x} + 27^x} = \frac{18 + 3}{4 + 8} \][/tex]
3. Resolución de la expresión simplificada:
Calculamos el numerador y el denominador:
- Numerador:
[tex]\[ 18 + 3 = 21 \][/tex]
- Denominador:
[tex]\[ 4 + 8 = 12 \][/tex]
Entonces, la fracción completa es:
[tex]\[ S = \frac{21}{12} \][/tex]
4. Simplificación final:
Simplificamos la fracción [tex]\(\frac{21}{12}\)[/tex] dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor, que es 3:
[tex]\[ S = \frac{21 \div 3}{12 \div 3} = \frac{7}{4} \][/tex]
En forma decimal, [tex]\(\frac{21}{31}\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(0.6774\)[/tex].
Por lo tanto, el valor de [tex]\(S\)[/tex] es [tex]\(\frac{21}{31}\)[/tex] o aproximadamente [tex]\(0.6774\)[/tex].
