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Sagot :
¡Claro! Vamos a representar gráficamente la función por partes:
[tex]\[ y=\left\{\begin{array}{lll} -2x + 1 & \text{si} & x \leq 1 \\ x^2 - 2 & \text{si} & x > 1 \end{array}\right. \][/tex]
### Paso 1: Graficar [tex]\( y = -2x + 1 \)[/tex] para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex]
Esta es una recta con pendiente -2 y una intersección en [tex]\( y = 1 \)[/tex].
- Cuando [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \][/tex]
Así que el punto en el cual dejará de graficarse esta parte de la función es (1, -1).
### Paso 2: Graficar [tex]\( y = x^2 - 2 \)[/tex] para [tex]\( x > 1 \)[/tex]
Esta es una parábola con vértice en el punto (0, -2) (este es el punto más bajo de la parábola, pero eso ocurre cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex], que no pertenece al dominio que estamos considerando). La parábola se abre hacia arriba.
- Cuando [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = (1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \][/tex]
Así que el punto en el cual comenzará a graficarse esta parte de la función es también (1, -1).
### Paso 3: Unir ambas funciones sobre el mismo gráfico
1. Para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex], graficamos la recta [tex]\( y = -2x + 1 \)[/tex].
2. Para [tex]\( x > 1 \)[/tex], graficamos la parábola [tex]\( y = x^2 - 2 \)[/tex], asegurándonos de continuar donde terminó la recta.
### Graficar:
1. Dominios:
- La recta solo se dibuja para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex].
- La parábola solo se dibuja para [tex]\( x > 1 \)[/tex].
2. Puntos Importantes:
- En [tex]\( x = 1 \)[/tex], se debe verificar la continuidad.
- Ambos segmentos deben pasar por el punto (1, -1).
#### Procedimiento Manual para el Gráfico:
- Dibujamos los ejes [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex].
- Marcamos el punto (1, -1).
- Para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex], trazamos la recta decreciente desde donde [tex]\( y \)[/tex] cruza el eje [tex]\( y \)[/tex] en [tex]\( y = 1 \)[/tex], descendiendo con una pendiente de -2 pasando por el punto (1, -1).
- Desde [tex]\( x = 1 \)[/tex], continuamos con la parábola que se abre hacia arriba, pasando por puntos como (2, 2-2=0) y continuando la curva concavamente hacia arriba.
### Detalles del Gráfico:
- Eje [tex]\( x \)[/tex] desde -10 hasta 10 para tener una visión amplia.
- Eje [tex]\( y \)[/tex] adaptado a los valores que alcance la función, suficiente sería desde -10 hasta 10.
Gráfico Resultante:
- Recta: Desciende desde [tex]\( y = 1 \)[/tex] hasta [tex]\( (1, -1) \)[/tex].
- Parábola: Comienza en [tex]\( (1, -1) \)[/tex] y sube hacia la derecha.
Espero que estos pasos sean de utilidad para graficar la función [tex]\( y \)[/tex] por partes de manera adecuada.
[tex]\[ y=\left\{\begin{array}{lll} -2x + 1 & \text{si} & x \leq 1 \\ x^2 - 2 & \text{si} & x > 1 \end{array}\right. \][/tex]
### Paso 1: Graficar [tex]\( y = -2x + 1 \)[/tex] para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex]
Esta es una recta con pendiente -2 y una intersección en [tex]\( y = 1 \)[/tex].
- Cuando [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \][/tex]
Así que el punto en el cual dejará de graficarse esta parte de la función es (1, -1).
### Paso 2: Graficar [tex]\( y = x^2 - 2 \)[/tex] para [tex]\( x > 1 \)[/tex]
Esta es una parábola con vértice en el punto (0, -2) (este es el punto más bajo de la parábola, pero eso ocurre cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex], que no pertenece al dominio que estamos considerando). La parábola se abre hacia arriba.
- Cuando [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = (1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \][/tex]
Así que el punto en el cual comenzará a graficarse esta parte de la función es también (1, -1).
### Paso 3: Unir ambas funciones sobre el mismo gráfico
1. Para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex], graficamos la recta [tex]\( y = -2x + 1 \)[/tex].
2. Para [tex]\( x > 1 \)[/tex], graficamos la parábola [tex]\( y = x^2 - 2 \)[/tex], asegurándonos de continuar donde terminó la recta.
### Graficar:
1. Dominios:
- La recta solo se dibuja para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex].
- La parábola solo se dibuja para [tex]\( x > 1 \)[/tex].
2. Puntos Importantes:
- En [tex]\( x = 1 \)[/tex], se debe verificar la continuidad.
- Ambos segmentos deben pasar por el punto (1, -1).
#### Procedimiento Manual para el Gráfico:
- Dibujamos los ejes [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex].
- Marcamos el punto (1, -1).
- Para [tex]\( x \leq 1 \)[/tex], trazamos la recta decreciente desde donde [tex]\( y \)[/tex] cruza el eje [tex]\( y \)[/tex] en [tex]\( y = 1 \)[/tex], descendiendo con una pendiente de -2 pasando por el punto (1, -1).
- Desde [tex]\( x = 1 \)[/tex], continuamos con la parábola que se abre hacia arriba, pasando por puntos como (2, 2-2=0) y continuando la curva concavamente hacia arriba.
### Detalles del Gráfico:
- Eje [tex]\( x \)[/tex] desde -10 hasta 10 para tener una visión amplia.
- Eje [tex]\( y \)[/tex] adaptado a los valores que alcance la función, suficiente sería desde -10 hasta 10.
Gráfico Resultante:
- Recta: Desciende desde [tex]\( y = 1 \)[/tex] hasta [tex]\( (1, -1) \)[/tex].
- Parábola: Comienza en [tex]\( (1, -1) \)[/tex] y sube hacia la derecha.
Espero que estos pasos sean de utilidad para graficar la función [tex]\( y \)[/tex] por partes de manera adecuada.
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