Para resolver o problema, vamos seguir os seguintes passos:
1. Encontrar os pontos críticos da função [tex]\( V(x) \)[/tex]:
- A expressão que representa o montante diário arrecadado é [tex]\( V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105 \)[/tex].
- Para encontrar os pontos críticos, derivamos [tex]\( V(x) \)[/tex] em relação a [tex]\( x \)[/tex] e igualamos a zero:
[tex]\[
V'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{4} - 10x + 105 \right) = \frac{x}{2} - 10
\][/tex]
Igualando a zero, temos:
[tex]\[
\frac{x}{2} - 10 = 0 \implies x = 20
\][/tex]
2. Verificar se os pontos críticos estão no intervalo de 1 a 30:
- O ponto crítico encontrado é [tex]\( x = 20 \)[/tex]. Este ponto se encontra dentro do intervalo [1, 30], então é um ponto válido para a avaliação.
3. Avaliar a função [tex]\( V(x) \)[/tex] nos pontos críticos e nos limites do intervalo:
- Vamos avaliar [tex]\( V(x) \)[/tex] nos pontos [tex]\( x = 1 \)[/tex], [tex]\( x = 30 \)[/tex] e no ponto crítico [tex]\( x = 20 \)[/tex].
- Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
V(1) = \frac{1^2}{4} - 10 \cdot 1 + 105 = \frac{1}{4} - 10 + 105 = \frac{421}{4} = 105 - 10 + 0.25 = 95.25
\][/tex]
- Para [tex]\( x = 30 \)[/tex]:
[tex]\[
V(30) = \frac{30^2}{4} - 10 \cdot 30 + 105 = \frac{900}{4} - 300 + 105 = 225 - 300 + 105 = 30
\][/tex]
- Para [tex]\( x = 20 \)[/tex]:
[tex]\[
V(20) = \frac{20^2}{4} - 10 \cdot 20 + 105 = \frac{400}{4} - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5
\][/tex]
4. Determinar o menor valor de [tex]\( V(x) \)[/tex]:
- Os valores de [tex]\( V(x) \)[/tex] nos pontos considerados são: [tex]\( V(1) = 95.25 \)[/tex], [tex]\( V(30) = 30 \)[/tex], [tex]\( V(20) = 5 \)[/tex].
- O menor valor é [tex]\( V_{0} = 5 \)[/tex].
5. Classificar o desempenho da empresa baseado no menor montante diário arrecadado [tex]\( V_0 = 5 \)[/tex]:
- De acordo com a tabela fornecida:
- Ótimo: [tex]\( V_0 \geq 24 \)[/tex]
- Bom: [tex]\( 20 \leq V_0 < 24 \)[/tex]
- Normal: [tex]\( 10 \leq V_0 < 20 \)[/tex]
- Ruim: [tex]\( 4 \leq V_0 < 10 \)[/tex]
- Péssimo: [tex]\( V_0 < 4 \)[/tex]
- Como [tex]\( 4 \leq 5 < 10 \)[/tex], a classificação é "Ruim".
Portanto, a classificação do desempenho da empresa é:
D) Ruim
