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Sagot :
Para encontrar los puntos de intersección de las dos circunferencias:
1. Definimos las ecuaciones de las circunferencias:
Primera circunferencia: [tex]\((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 169\)[/tex]
Segunda circunferencia: [tex]\((x + 10)^2 + (y + 11)^2 = 169\)[/tex]
2. Desarrollamos las ecuaciones:
Primera circunferencia: [tex]\(x^2 - 14x + 49 + y^2 - 12y + 36 = 169 \)[/tex]
Simplificamos la primera ecuación:
[tex]\(x^2 + y^2 - 14x - 12y + 85 = 169 \)[/tex]
Finalmente, reordenamos:
[tex]\(x^2 + y^2 - 14x - 12y = 84 \)[/tex]
Segunda circunferencia: [tex]\(x^2 + 20x + 100 + y^2 + 22y + 121 = 169 \)[/tex]
Simplificamos la segunda ecuación:
[tex]\(x^2 + y^2 + 20x + 22y + 221 = 169 \)[/tex]
Finalmente, reordenamos:
[tex]\(x^2 + y^2 + 20x + 22y = -52 \)[/tex]
3. Restamos una ecuación de la otra para eliminar [tex]\(x^2 + y^2\)[/tex]:
[tex]\((x^2 + y^2 - 14x - 12y) - (x^2 + y^2 + 20x + 22y) = 84 - ( - 52) \)[/tex]
Simplificamos la resta:
[tex]\(-14x - 12y - 20x - 22y = 84 + 52 \)[/tex]
[tex]\(-34x - 34y = 136 \)[/tex]
Dividimos todo por –34:
[tex]\(x + y = -4\)[/tex]
4. Sustituimos y resolvemos una de las ecuaciones originales usando [tex]\(x + y = -4\)[/tex]:
Tomamos la primera circunferencia y sustituimos:
[tex]\(y = -x - 4\)[/tex]
Sustituimos en [tex]\((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 169\)[/tex]:
[tex]\((x - 7)^2 + (-x - 4 - 6)^2 = 169\)[/tex]
[tex]\((x - 7)^2 + (-x - 10)^2 = 169\)[/tex]
Expandiendo:
[tex]\( (x - 7)^2 + (-x - 10)^2 = 169 \)[/tex]
[tex]\( (x^2 - 14x + 49) + (x^2 + 20x + 100) = 169 \)[/tex]
Combinamos términos semejantes:
[tex]\( 2x^2 + 6x + 149 = 169 \)[/tex]
[tex]\( 2x^2 + 6x - 20 = 0 \)[/tex]
Dividimos todo por 2:
[tex]\( x^2 + 3x - 10 = 0 \)[/tex]
5. Resolvemos la cuadrática:
[tex]\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} \)[/tex]
[tex]\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \)[/tex]
[tex]\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} \)[/tex]
[tex]\( x = \frac{-3 \pm 7}{2} \)[/tex]
Lo que resulta en [tex]\(x = \frac{4}{2} = 2\)[/tex] o [tex]\(x = \frac{-10}{2} = -5\)[/tex]
6. Determinamos los valores de [tex]\(y\)[/tex]:
Para [tex]\(x = 2\)[/tex], [tex]\( y = -2 - 4 = -6\)[/tex]
Para [tex]\(x = -5\)[/tex], [tex]\( y = 5 - 4 = 1\)[/tex]
7. Puntos de intersección:
Los puntos de intersección de las circunferencias son:
[tex]\((-5, 1)\)[/tex] y [tex]\((2, -6)\)[/tex]
Por lo tanto, uno de los puntos en que se intersectan las circunferencias es [tex]\((-5, 1)\)[/tex].
1. Definimos las ecuaciones de las circunferencias:
Primera circunferencia: [tex]\((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 169\)[/tex]
Segunda circunferencia: [tex]\((x + 10)^2 + (y + 11)^2 = 169\)[/tex]
2. Desarrollamos las ecuaciones:
Primera circunferencia: [tex]\(x^2 - 14x + 49 + y^2 - 12y + 36 = 169 \)[/tex]
Simplificamos la primera ecuación:
[tex]\(x^2 + y^2 - 14x - 12y + 85 = 169 \)[/tex]
Finalmente, reordenamos:
[tex]\(x^2 + y^2 - 14x - 12y = 84 \)[/tex]
Segunda circunferencia: [tex]\(x^2 + 20x + 100 + y^2 + 22y + 121 = 169 \)[/tex]
Simplificamos la segunda ecuación:
[tex]\(x^2 + y^2 + 20x + 22y + 221 = 169 \)[/tex]
Finalmente, reordenamos:
[tex]\(x^2 + y^2 + 20x + 22y = -52 \)[/tex]
3. Restamos una ecuación de la otra para eliminar [tex]\(x^2 + y^2\)[/tex]:
[tex]\((x^2 + y^2 - 14x - 12y) - (x^2 + y^2 + 20x + 22y) = 84 - ( - 52) \)[/tex]
Simplificamos la resta:
[tex]\(-14x - 12y - 20x - 22y = 84 + 52 \)[/tex]
[tex]\(-34x - 34y = 136 \)[/tex]
Dividimos todo por –34:
[tex]\(x + y = -4\)[/tex]
4. Sustituimos y resolvemos una de las ecuaciones originales usando [tex]\(x + y = -4\)[/tex]:
Tomamos la primera circunferencia y sustituimos:
[tex]\(y = -x - 4\)[/tex]
Sustituimos en [tex]\((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 169\)[/tex]:
[tex]\((x - 7)^2 + (-x - 4 - 6)^2 = 169\)[/tex]
[tex]\((x - 7)^2 + (-x - 10)^2 = 169\)[/tex]
Expandiendo:
[tex]\( (x - 7)^2 + (-x - 10)^2 = 169 \)[/tex]
[tex]\( (x^2 - 14x + 49) + (x^2 + 20x + 100) = 169 \)[/tex]
Combinamos términos semejantes:
[tex]\( 2x^2 + 6x + 149 = 169 \)[/tex]
[tex]\( 2x^2 + 6x - 20 = 0 \)[/tex]
Dividimos todo por 2:
[tex]\( x^2 + 3x - 10 = 0 \)[/tex]
5. Resolvemos la cuadrática:
[tex]\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} \)[/tex]
[tex]\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \)[/tex]
[tex]\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} \)[/tex]
[tex]\( x = \frac{-3 \pm 7}{2} \)[/tex]
Lo que resulta en [tex]\(x = \frac{4}{2} = 2\)[/tex] o [tex]\(x = \frac{-10}{2} = -5\)[/tex]
6. Determinamos los valores de [tex]\(y\)[/tex]:
Para [tex]\(x = 2\)[/tex], [tex]\( y = -2 - 4 = -6\)[/tex]
Para [tex]\(x = -5\)[/tex], [tex]\( y = 5 - 4 = 1\)[/tex]
7. Puntos de intersección:
Los puntos de intersección de las circunferencias son:
[tex]\((-5, 1)\)[/tex] y [tex]\((2, -6)\)[/tex]
Por lo tanto, uno de los puntos en que se intersectan las circunferencias es [tex]\((-5, 1)\)[/tex].
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