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Sagot :
Para determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son [tex]\( A(3, -2) \)[/tex], [tex]\( B(1, 4) \)[/tex], y [tex]\( D(-5, 4) \)[/tex], vamos a seguir estos pasos:
1. Encontrar los puntos medios de los lados del triángulo:
- Punto medio de [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, 1) \][/tex]
- Punto medio de [tex]\( BD \)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{1 - 5}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}, \frac{8}{2} \right) = (-2, 4) \][/tex]
- Punto medio de [tex]\( DA \)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{4 - 2}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1) \][/tex]
2. Calcular las pendientes de los lados del triángulo:
- Pendiente de [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{4 - (-2)}{1 - 3} = \frac{6}{-2} = -3 \][/tex]
- Pendiente de [tex]\( BD \)[/tex]:
[tex]\[ m_{BD} = \frac{4 - 4}{-5 - 1} = \frac{0}{-6} = 0 \][/tex]
- Pendiente de [tex]\( DA \)[/tex]:
[tex]\[ m_{DA} = \frac{-2 - 4}{3 - (-5)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \][/tex]
3. Calcular las pendientes perpendiculares a los lados del triángulo:
- Pendiente perpendicular a [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp AB} = \frac{1}{3} \][/tex]
- Pendiente perpendicular a [tex]\( BD \)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp BD} = \infty \quad (\text{línea vertical}) \][/tex]
- Pendiente perpendicular a [tex]\( DA \)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp DA} = \frac{4}{3} \][/tex]
4. Encontrar las intersecciones de las bisectrices perpendiculares:
- La bisectriz perpendicular a [tex]\( AB \)[/tex] pasa por [tex]\( (2, 1) \)[/tex] y tiene pendiente [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \times (-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \times (-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \][/tex]
- La bisectriz perpendicular a [tex]\( BD \)[/tex] es una línea vertical que pasa por [tex]\((-2, 4)\)[/tex]:
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
- Encontramos el punto de intersección de [tex]\( y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \)[/tex] con [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1}{3}(-2) + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \][/tex]
Entonces, el punto de intersección es [tex]\( (-2, -\frac{1}{3}) \)[/tex].
5. Determinar el radio de la circunferencia:
El centro de la circunferencia es [tex]\( (-2, -\frac{1}{3}) \)[/tex]. El radio puede calcularse como la distancia del centro a cualquiera de los puntos medios calculados.
Usamos la distancia del centro al punto medio de [tex]\( AB (2,1) \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Distancia} = \sqrt{ \left( 2 - (-2) \right) ^2 + \left( 1 - (- \frac{1}{3})\right)^2} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{ (2 + 2) ^2 + \left( 1 + \frac{1}{3}\right ) ^2} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{ 4 ^2 + \left( \frac{4}{3} \right) ^2} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{ 16 + \frac{16}{9}} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{\frac{160}{9}} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{\sqrt{160}}{3} \][/tex]
[tex]\[ \approx \frac{4 \sqrt{10}}{3} \][/tex]
6. Escribir la ecuación de la circunferencia:
La ecuación general de la circunferencia es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( h = -2 \)[/tex], [tex]\( k = - \frac{1}{3} \)[/tex], y [tex]\( r = \frac{4\sqrt{10}}{3}\)[/tex]:
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \left( \frac{4\sqrt{10}}{3} \right)^2 \approx \left( \frac{\sqrt{160}}{3} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{160}{9} \][/tex]
Entonces, la ecuación de la circunferencia es:
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{160}{9} \][/tex]
1. Encontrar los puntos medios de los lados del triángulo:
- Punto medio de [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, 1) \][/tex]
- Punto medio de [tex]\( BD \)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{1 - 5}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}, \frac{8}{2} \right) = (-2, 4) \][/tex]
- Punto medio de [tex]\( DA \)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{4 - 2}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1) \][/tex]
2. Calcular las pendientes de los lados del triángulo:
- Pendiente de [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{4 - (-2)}{1 - 3} = \frac{6}{-2} = -3 \][/tex]
- Pendiente de [tex]\( BD \)[/tex]:
[tex]\[ m_{BD} = \frac{4 - 4}{-5 - 1} = \frac{0}{-6} = 0 \][/tex]
- Pendiente de [tex]\( DA \)[/tex]:
[tex]\[ m_{DA} = \frac{-2 - 4}{3 - (-5)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \][/tex]
3. Calcular las pendientes perpendiculares a los lados del triángulo:
- Pendiente perpendicular a [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp AB} = \frac{1}{3} \][/tex]
- Pendiente perpendicular a [tex]\( BD \)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp BD} = \infty \quad (\text{línea vertical}) \][/tex]
- Pendiente perpendicular a [tex]\( DA \)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp DA} = \frac{4}{3} \][/tex]
4. Encontrar las intersecciones de las bisectrices perpendiculares:
- La bisectriz perpendicular a [tex]\( AB \)[/tex] pasa por [tex]\( (2, 1) \)[/tex] y tiene pendiente [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \times (-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \times (-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \][/tex]
- La bisectriz perpendicular a [tex]\( BD \)[/tex] es una línea vertical que pasa por [tex]\((-2, 4)\)[/tex]:
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
- Encontramos el punto de intersección de [tex]\( y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \)[/tex] con [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1}{3}(-2) + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \][/tex]
Entonces, el punto de intersección es [tex]\( (-2, -\frac{1}{3}) \)[/tex].
5. Determinar el radio de la circunferencia:
El centro de la circunferencia es [tex]\( (-2, -\frac{1}{3}) \)[/tex]. El radio puede calcularse como la distancia del centro a cualquiera de los puntos medios calculados.
Usamos la distancia del centro al punto medio de [tex]\( AB (2,1) \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Distancia} = \sqrt{ \left( 2 - (-2) \right) ^2 + \left( 1 - (- \frac{1}{3})\right)^2} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{ (2 + 2) ^2 + \left( 1 + \frac{1}{3}\right ) ^2} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{ 4 ^2 + \left( \frac{4}{3} \right) ^2} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{ 16 + \frac{16}{9}} \][/tex]
[tex]\[ = \sqrt{\frac{160}{9}} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{\sqrt{160}}{3} \][/tex]
[tex]\[ \approx \frac{4 \sqrt{10}}{3} \][/tex]
6. Escribir la ecuación de la circunferencia:
La ecuación general de la circunferencia es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( h = -2 \)[/tex], [tex]\( k = - \frac{1}{3} \)[/tex], y [tex]\( r = \frac{4\sqrt{10}}{3}\)[/tex]:
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \left( \frac{4\sqrt{10}}{3} \right)^2 \approx \left( \frac{\sqrt{160}}{3} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{160}{9} \][/tex]
Entonces, la ecuación de la circunferencia es:
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{160}{9} \][/tex]
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