Para determinar el dominio de la función [tex]\(\beta(u) = \sqrt{u^2 - 81}\)[/tex], necesitamos estudiar las condiciones bajo las cuales la expresión dentro de la raíz cuadrada es no negativa (es decir, mayor o igual a cero), pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales.
La expresión dentro de la raíz cuadrada es [tex]\(u^2 - 81\)[/tex]. Planteamos la desigualdad:
[tex]\[ u^2 - 81 \geq 0 \][/tex]
Para resolver esta desigualdad, seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 81 a ambos lados de la desigualdad:
[tex]\[ u^2 - 81 + 81 \geq 0 + 81 \][/tex]
[tex]\[ u^2 \geq 81 \][/tex]
2. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad:
[tex]\[ \sqrt{u^2} \geq \sqrt{81} \][/tex]
[tex]\[ |u| \geq 9 \][/tex]
3. Interpretamos la desigualdad [tex]\(|u| \geq 9\)[/tex]: Esta desigualdad se cumple si [tex]\(u\)[/tex] es mayor o igual a 9, o si [tex]\(u\)[/tex] es menor o igual a -9. Matemáticamente, esto se expresa como:
[tex]\[ u \leq -9 \quad \text{o} \quad u \geq 9 \][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\(u\)[/tex] que satisfacen la desigualdad son aquellos menores o iguales a -9 o mayores o iguales a 9. En notación de intervalos, el dominio de la función [tex]\(\beta(u)\)[/tex] es:
[tex]\[ (-\infty, -9] \cup [9, \infty) \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
c. [tex]\( (-\infty, -9] \cup [9, +\infty) \)[/tex]
