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Sagot :
Para aproximar la integral de [tex]\( f(x) = 2x + 1 \)[/tex] en el intervalo [tex]\([1, 3]\)[/tex] utilizando una suma de Riemann con [tex]\( n = 3 \)[/tex] subintervalos y evaluando la función en los extremos derechos de los subintervalos, seguimos los siguientes pasos detallados:
1. Determinar el ancho de cada subintervalo (dx):
- El ancho de cada subintervalo [tex]\( \Delta x \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 \][/tex]
2. Determinar los puntos de evaluación (extremos derechos de los subintervalos):
- Calculamos las posiciones de los puntos de evaluación que son los extremos derechos de cada subintervalo. Estos son:
[tex]\[ x_1 = a + \Delta x = 1 + 0.6667 = 1.6667 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = a + 2\Delta x = 1 + 2 \times 0.6667 = 2.3333 \][/tex]
[tex]\[ x_3 = a + 3\Delta x = 1 + 3 \times 0.6667 = 3 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos de evaluación son [tex]\( x = [1.6667, 2.3333, 3.0] \)[/tex].
3. Evalúa la función en los puntos determinados:
- Calculamos el valor de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] en cada uno de los puntos:
[tex]\[ f(1.6667) = 2(1.6667) + 1 \approx 4.3333 \][/tex]
[tex]\[ f(2.3333) = 2(2.3333) + 1 \approx 5.6667 \][/tex]
[tex]\[ f(3.0000) = 2(3.0000) + 1 = 7.0000 \][/tex]
4. Calcular la suma de las áreas de los rectángulos (suma de Riemann):
- Multiplicamos la evaluación de la función en cada punto por el ancho del subintervalo:
[tex]\[ \text{Área} = \Delta x \left( f(1.6667) + f(2.3333) + f(3.0000) \right) \][/tex]
[tex]\[ \text{Área} = 0.6667 (4.3333 + 5.6667 + 7.0000) \approx 0.6667 \times 17.0000 = 11.3333 \][/tex]
Por lo tanto, la aproximación de la integral de [tex]\( f(x) = 2x + 1 \)[/tex] en el intervalo [tex]\([1, 3]\)[/tex] utilizando una suma de Riemann con extremos derechos y [tex]\( n = 3 \)[/tex] subintervalos es aproximadamente 11.3333.
1. Determinar el ancho de cada subintervalo (dx):
- El ancho de cada subintervalo [tex]\( \Delta x \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 \][/tex]
2. Determinar los puntos de evaluación (extremos derechos de los subintervalos):
- Calculamos las posiciones de los puntos de evaluación que son los extremos derechos de cada subintervalo. Estos son:
[tex]\[ x_1 = a + \Delta x = 1 + 0.6667 = 1.6667 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = a + 2\Delta x = 1 + 2 \times 0.6667 = 2.3333 \][/tex]
[tex]\[ x_3 = a + 3\Delta x = 1 + 3 \times 0.6667 = 3 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos de evaluación son [tex]\( x = [1.6667, 2.3333, 3.0] \)[/tex].
3. Evalúa la función en los puntos determinados:
- Calculamos el valor de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] en cada uno de los puntos:
[tex]\[ f(1.6667) = 2(1.6667) + 1 \approx 4.3333 \][/tex]
[tex]\[ f(2.3333) = 2(2.3333) + 1 \approx 5.6667 \][/tex]
[tex]\[ f(3.0000) = 2(3.0000) + 1 = 7.0000 \][/tex]
4. Calcular la suma de las áreas de los rectángulos (suma de Riemann):
- Multiplicamos la evaluación de la función en cada punto por el ancho del subintervalo:
[tex]\[ \text{Área} = \Delta x \left( f(1.6667) + f(2.3333) + f(3.0000) \right) \][/tex]
[tex]\[ \text{Área} = 0.6667 (4.3333 + 5.6667 + 7.0000) \approx 0.6667 \times 17.0000 = 11.3333 \][/tex]
Por lo tanto, la aproximación de la integral de [tex]\( f(x) = 2x + 1 \)[/tex] en el intervalo [tex]\([1, 3]\)[/tex] utilizando una suma de Riemann con extremos derechos y [tex]\( n = 3 \)[/tex] subintervalos es aproximadamente 11.3333.
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