Para calcular a medida da aresta de um tetraedro regular cujo volume é de [tex]\(4,23 \text{ cm}^3\)[/tex], seguimos estes passos:
1. Volume de um tetraedro regular: A fórmula do volume [tex]\(V\)[/tex] de um tetraedro regular em termos da medida da aresta [tex]\(a\)[/tex] é dada por:
[tex]\[
V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}
\][/tex]
2. Isolando a aresta [tex]\(a\)[/tex]: Queremos encontrar a medida da aresta [tex]\(a\)[/tex] a partir do volume fornecido. Rearranjamos a equação para [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
a^3 = V \times 6\sqrt{2}
\][/tex]
[tex]\[
a = \sqrt[3]{V \times 6\sqrt{2}}
\][/tex]
3. Substituindo os valores: Sabemos que o volume [tex]\(V = 4,23 \text{ cm}^3\)[/tex] e que [tex]\(\sqrt{2} = 1,14\)[/tex]. Substituímos esses valores na fórmula:
[tex]\[
a = \sqrt[3]{4,23 \times 6 \times 1,14}
\][/tex]
4. Calculando o termo dentro da raiz cúbica:
[tex]\[
4,23 \times 6 = 25,38
\][/tex]
[tex]\[
25,38 \times 1,14 = 28,9332
\][/tex]
5. Extraindo a raiz cúbica:
[tex]\[
a = \sqrt[3]{28,9332}
\][/tex]
6. Resultado da raiz cúbica:
[tex]\[
a \approx 3,07 \text{ cm}
\][/tex]
Portanto, a medida da aresta do tetraedro regular é aproximadamente [tex]\(3,07 \text{ cm}\)[/tex].
