Claro, resolvamos la división [tex]\( \left(x^3 - 12x^2 + 23x - 5\right) \div (x - 3) \)[/tex] utilizando el método sintético paso a paso.
### Paso 1: Coeficientes del Polinomio
Primero, identificamos los coeficientes del polinomio [tex]\(x^3 - 12x^2 + 23x - 5\)[/tex]:
- Coeficientes: [tex]\( [1, -12, 23, -5] \)[/tex]
### Paso 2: El Divisor
El divisor es [tex]\(x - 3\)[/tex], por lo tanto, la raíz es [tex]\(3\)[/tex].
### Paso 3: División Sintética
Vamos a utilizar la raíz en el proceso de división sintética:
1. Descendemos el primer coeficiente:
- El primer coeficiente es [tex]\(1\)[/tex], así que lo bajamos tal cual.
- Resultado parcial: [tex]\( [1] \)[/tex]
2. Multiplicamos y sumamos:
- Para el siguiente coeficiente, multiplicamos la raíz [tex]\(3\)[/tex] por el valor recién bajado y luego sumamos el siguiente coeficiente del polinomio.
- Multiplicamos [tex]\(3 \times 1 = 3\)[/tex] y sumamos con [tex]\(-12\)[/tex]: [tex]\( -12 + 3 = -9 \)[/tex]
- Resultado parcial: [tex]\( [1, -9] \)[/tex]
3. Repetimos el proceso para los siguientes coeficientes:
- Multiplicamos [tex]\(3 \times -9 = -27\)[/tex] y sumamos con [tex]\(23\)[/tex]: [tex]\( 23 - 27 = -4 \)[/tex]
- Resultado parcial: [tex]\( [1, -9, -4] \)[/tex]
- Multiplicamos [tex]\(3 \times -4 = -12\)[/tex] y sumamos con [tex]\(-5\)[/tex]: [tex]\( -5 - 12 = -17 \)[/tex]
- Resultado parcial: [tex]\( [1, -9, -4, -17] \)[/tex]
### Paso 4: Interpretación de Resultados
El último valor es el residuo y los valores anteriores representan los coeficientes del polinomio cociente:
- Coeficientes del cociente: [tex]\( [1, -9, -4] \)[/tex]
- Residuo: [tex]\( -17 \)[/tex]
Por lo tanto, el resultado de la división sintética es:
[tex]\[ \left(x^3 - 12x^2 + 23x - 5\right) \div (x - 3) = x^2 - 9x - 4 \text{ con un residuo de } -17 \][/tex]
### Resumen
- Cociente: [tex]\( x^2 - 9x - 4 \)[/tex]
- Residuo: [tex]\( -17 \)[/tex]
Por tanto, la división [tex]\( \left(x^3 - 12x^2 + 23x - 5\right) \div (x - 3) \)[/tex] nos da el cociente [tex]\( x^2 - 9x - 4 \)[/tex] con un residuo de [tex]\(-17\)[/tex].
