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Sagot :
Para determinar la relación entre la recta [tex]\(4x - 3y - 8 = 0\)[/tex] y la circunferencia [tex]\(25x^2 + 25y^2 - 150y - 64 = 0\)[/tex], seguiremos los siguientes pasos:
1. Reescribir la ecuación de la circunferencia en su forma estándar:
Primero, simplificamos la ecuación de la circunferencia dividiendo por 25:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
Ahora, completamos el cuadrado para [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y + 9 - 9 - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 - 9 - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = 9 + \frac{64}{25} \][/tex]
Sumamos los términos constantes:
[tex]\[ 9 = \frac{225}{25} \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \frac{225 + 64}{25} = \frac{289}{25} \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
Por lo tanto, la ecuación en su forma estándar es:
[tex]\[ (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
La circunferencia tiene su centro en [tex]\( (0, 3) \)[/tex] y radio [tex]\( \frac{17}{5} \)[/tex].
2. Reescribir la ecuación de la recta en la forma [tex]\(y = mx + b\)[/tex]:
La ecuación de la recta es [tex]\(4x - 3y - 8 = 0\)[/tex].
Despejamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3y = 4x - 8 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \][/tex]
La forma pendiente-intercepto es [tex]\( y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \)[/tex].
3. Resolver el sistema de ecuaciones:
Sustituimos [tex]\(y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}\)[/tex] en la ecuación de la circunferencia:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{8}{3} - 3\right)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4x - 17}{3}\right)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
Desarrollamos el cuadrado:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{16x^2 - 136x + 289}{9}\right) = \frac{289}{25} \][/tex]
Multiplicamos todo por 9 para eliminar el denominador:
[tex]\[ 9x^2 + (16x^2 - 136x + 289) = \frac{2601}{25} \][/tex]
[tex]\[ 25(25x^2 - 204x^2 + 1224x - 2601) = 0 \][/tex]
Solucionamos la ecuación cuadrática en [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 41x^2 - 1224x + 0 \][/tex]
La ecuación cuadrática:
[tex]\[ 41 - 204x2 + 1224x - 2601 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac }}{2a} \][/tex]
Eso nos lleva a obtener los puntos de intersección de la línea con el círculo
Si estos puntos existen y son reales conclimos que cortan en dos puntos.
Si la discriminante es cero, implica que tenemos una sola solución y eso sería tangente al círculo.
Si la discriminante es menor a cero implica que no tienen punto de conexión.
Después de evaluar eso llegamos que obtenemos 0 y eso señala que son tangentes en un único punto.
1. Reescribir la ecuación de la circunferencia en su forma estándar:
Primero, simplificamos la ecuación de la circunferencia dividiendo por 25:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
Ahora, completamos el cuadrado para [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y + 9 - 9 - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 - 9 - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = 9 + \frac{64}{25} \][/tex]
Sumamos los términos constantes:
[tex]\[ 9 = \frac{225}{25} \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \frac{225 + 64}{25} = \frac{289}{25} \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
Por lo tanto, la ecuación en su forma estándar es:
[tex]\[ (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
La circunferencia tiene su centro en [tex]\( (0, 3) \)[/tex] y radio [tex]\( \frac{17}{5} \)[/tex].
2. Reescribir la ecuación de la recta en la forma [tex]\(y = mx + b\)[/tex]:
La ecuación de la recta es [tex]\(4x - 3y - 8 = 0\)[/tex].
Despejamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3y = 4x - 8 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \][/tex]
La forma pendiente-intercepto es [tex]\( y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \)[/tex].
3. Resolver el sistema de ecuaciones:
Sustituimos [tex]\(y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}\)[/tex] en la ecuación de la circunferencia:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{8}{3} - 3\right)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = \left(\frac{17}{5}\right)^2 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4x - 17}{3}\right)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
Desarrollamos el cuadrado:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{16x^2 - 136x + 289}{9}\right) = \frac{289}{25} \][/tex]
Multiplicamos todo por 9 para eliminar el denominador:
[tex]\[ 9x^2 + (16x^2 - 136x + 289) = \frac{2601}{25} \][/tex]
[tex]\[ 25(25x^2 - 204x^2 + 1224x - 2601) = 0 \][/tex]
Solucionamos la ecuación cuadrática en [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 41x^2 - 1224x + 0 \][/tex]
La ecuación cuadrática:
[tex]\[ 41 - 204x2 + 1224x - 2601 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac }}{2a} \][/tex]
Eso nos lleva a obtener los puntos de intersección de la línea con el círculo
Si estos puntos existen y son reales conclimos que cortan en dos puntos.
Si la discriminante es cero, implica que tenemos una sola solución y eso sería tangente al círculo.
Si la discriminante es menor a cero implica que no tienen punto de conexión.
Después de evaluar eso llegamos que obtenemos 0 y eso señala que son tangentes en un único punto.
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