Para determinar el foco de la parábola dada por la ecuación [tex]\( x^2 = 8y \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identificar la forma estándar de la parábola:
La ecuación [tex]\( x^2 = 8y \)[/tex] se asemeja a la forma estándar de la ecuación de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, que es [tex]\( x^2 = 4py \)[/tex].
2. Comparar con la forma estándar:
Comparando [tex]\( x^2 = 8y \)[/tex] con [tex]\( x^2 = 4py \)[/tex], se observa que el término [tex]\( 4p \)[/tex] en la forma estándar corresponde al coeficiente de [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación dada.
[tex]\[ 4p = 8 \][/tex]
3. Resolver para [tex]\( p \)[/tex]:
Despejando [tex]\( p \)[/tex] de la ecuación [tex]\( 4p = 8 \)[/tex]:
[tex]\[ p = \frac{8}{4} \][/tex]
[tex]\[ p = 2 \][/tex]
4. Determinar las coordenadas del foco:
En la forma estándar [tex]\( x^2 = 4py \)[/tex], el foco de la parábola se encuentra en el punto [tex]\((0, p)\)[/tex]. Dado que hemos encontrado que [tex]\( p = 2 \)[/tex], las coordenadas del foco serán:
[tex]\[ (x, y) = (0, 2) \][/tex]
Por lo tanto, el foco de la parábola cuya ecuación es [tex]\( x^2 = 8y \)[/tex] está en el punto [tex]\((0, 2)\)[/tex].
