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Sagot :
Claro, vamos a trazar las gráficas de las rectas que pasan por el punto [tex]\( P(3, 1) \)[/tex] para cada uno de los valores de pendiente dados: [tex]\( m = 1, -2, -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Ecuación de la recta
Primero recordemos la fórmula general para una recta que pasa por un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] con pendiente [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ y - y_1 = m(x - x_1) \][/tex]
En nuestro caso, [tex]\( (x_1, y_1) = (3, 1) \)[/tex].
### Recta con [tex]\( m = 1 \)[/tex]
Para [tex]\( m = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = 1(x - 3) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = x - 3 \][/tex]
[tex]\[ y = x - 3 + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = x - 2 \][/tex]
### Recta con [tex]\( m = -2 \)[/tex]
Para [tex]\( m = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = -2(x - 3) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = -2x + 6 \][/tex]
[tex]\[ y = -2x + 6 + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = -2x + 7 \][/tex]
### Recta con [tex]\( m = -\frac{1}{2} \)[/tex]
Para [tex]\( m = -\frac{1}{2} \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2}x + 2.5 \][/tex]
### Graficación
#### 1. Recta [tex]\( y = x - 2 \)[/tex]:
Toma algunos puntos de la recta:
- Si [tex]\( x = 0 \)[/tex], entonces [tex]\( y = 0 - 2 = -2 \)[/tex]. Punto (0, -2)
- Si [tex]\( x = 3 \)[/tex], entonces [tex]\( y = 3 - 2 = 1 \)[/tex]. Punto (3, 1) (ya lo sabíamos)
- Si [tex]\( x = 5 \)[/tex], entonces [tex]\( y = 5 - 2 = 3 \)[/tex]. Punto (5, 3)
#### 2. Recta [tex]\( y = -2x + 7 \)[/tex]:
Toma algunos puntos de la recta:
- Si [tex]\( x = 0 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -2 \cdot 0 + 7 = 7 \)[/tex]. Punto (0, 7)
- Si [tex]\( x = 2 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -2 \cdot 2 + 7 = 3 \)[/tex]. Punto (2, 3)
- Si [tex]\( x = 3 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -2 \cdot 3 + 7 = 1 \)[/tex]. Punto (3, 1) (ya lo sabíamos)
#### 3. Recta [tex]\( y = -\frac{1}{2}x + 2.5 \)[/tex]:
Toma algunos puntos de la recta:
- Si [tex]\( x = 0 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 2.5 = 2.5 \)[/tex]. Punto (0, 2.5)
- Si [tex]\( x = 2 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 2.5 = 1.5 \)[/tex]. Punto (2, 1.5)
- Si [tex]\( x = 3 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -\frac{1}{2} \cdot 3 + 2.5 = 1 \)[/tex]. Punto (3, 1) (ya lo sabíamos)
### Dibujo de las gráficas
1. Recta [tex]\( y = x - 2 \)[/tex]:
- Puntos: (0, -2), (3, 1), (5, 3)
2. Recta [tex]\( y = -2x + 7 \)[/tex]:
- Puntos: (0, 7), (2, 3), (3, 1)
3. Recta [tex]\( y = -\frac{1}{2}x + 2.5 \)[/tex]:
- Puntos: (0, 2.5), (2, 1.5), (3, 1)
Finalmente, al graficarlas verás tres líneas que pasan por el punto [tex]\( P(3, 1) \)[/tex] con las pendientes especificadas. Recuerda que en una gráfica con ejes cartesianos, el punto P debe aparecer en todas las rectas.
### Ecuación de la recta
Primero recordemos la fórmula general para una recta que pasa por un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] con pendiente [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ y - y_1 = m(x - x_1) \][/tex]
En nuestro caso, [tex]\( (x_1, y_1) = (3, 1) \)[/tex].
### Recta con [tex]\( m = 1 \)[/tex]
Para [tex]\( m = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = 1(x - 3) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = x - 3 \][/tex]
[tex]\[ y = x - 3 + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = x - 2 \][/tex]
### Recta con [tex]\( m = -2 \)[/tex]
Para [tex]\( m = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = -2(x - 3) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = -2x + 6 \][/tex]
[tex]\[ y = -2x + 6 + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = -2x + 7 \][/tex]
### Recta con [tex]\( m = -\frac{1}{2} \)[/tex]
Para [tex]\( m = -\frac{1}{2} \)[/tex]:
[tex]\[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2}x + 2.5 \][/tex]
### Graficación
#### 1. Recta [tex]\( y = x - 2 \)[/tex]:
Toma algunos puntos de la recta:
- Si [tex]\( x = 0 \)[/tex], entonces [tex]\( y = 0 - 2 = -2 \)[/tex]. Punto (0, -2)
- Si [tex]\( x = 3 \)[/tex], entonces [tex]\( y = 3 - 2 = 1 \)[/tex]. Punto (3, 1) (ya lo sabíamos)
- Si [tex]\( x = 5 \)[/tex], entonces [tex]\( y = 5 - 2 = 3 \)[/tex]. Punto (5, 3)
#### 2. Recta [tex]\( y = -2x + 7 \)[/tex]:
Toma algunos puntos de la recta:
- Si [tex]\( x = 0 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -2 \cdot 0 + 7 = 7 \)[/tex]. Punto (0, 7)
- Si [tex]\( x = 2 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -2 \cdot 2 + 7 = 3 \)[/tex]. Punto (2, 3)
- Si [tex]\( x = 3 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -2 \cdot 3 + 7 = 1 \)[/tex]. Punto (3, 1) (ya lo sabíamos)
#### 3. Recta [tex]\( y = -\frac{1}{2}x + 2.5 \)[/tex]:
Toma algunos puntos de la recta:
- Si [tex]\( x = 0 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 2.5 = 2.5 \)[/tex]. Punto (0, 2.5)
- Si [tex]\( x = 2 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 2.5 = 1.5 \)[/tex]. Punto (2, 1.5)
- Si [tex]\( x = 3 \)[/tex], entonces [tex]\( y = -\frac{1}{2} \cdot 3 + 2.5 = 1 \)[/tex]. Punto (3, 1) (ya lo sabíamos)
### Dibujo de las gráficas
1. Recta [tex]\( y = x - 2 \)[/tex]:
- Puntos: (0, -2), (3, 1), (5, 3)
2. Recta [tex]\( y = -2x + 7 \)[/tex]:
- Puntos: (0, 7), (2, 3), (3, 1)
3. Recta [tex]\( y = -\frac{1}{2}x + 2.5 \)[/tex]:
- Puntos: (0, 2.5), (2, 1.5), (3, 1)
Finalmente, al graficarlas verás tres líneas que pasan por el punto [tex]\( P(3, 1) \)[/tex] con las pendientes especificadas. Recuerda que en una gráfica con ejes cartesianos, el punto P debe aparecer en todas las rectas.
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