Para resolver el problema de determinar la probabilidad de obtener exactamente 4 águilas (caras) en 8 lanzamientos de una moneda, utilizamos la fórmula de probabilidad binomial. Esta fórmula se expresa como:
[tex]\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p^k) \cdot (q^{n-k}) \][/tex]
Donde:
- [tex]\( n \)[/tex] es el número total de lanzamientos,
- [tex]\( k \)[/tex] es el número de veces que queremos que ocurra un resultado específico (en este caso, águilas),
- [tex]\( p \)[/tex] es la probabilidad de éxito en un solo lanzamiento (probabilidad de obtener águila, que es 0.5),
- [tex]\( q \)[/tex] es la probabilidad de fracaso en un solo lanzamiento (probabilidad de obtener sol, que también es 0.5),
- [tex]\( C(n, k) \)[/tex] es el número de combinaciones de [tex]\( n \)[/tex] elementos tomados de [tex]\( k \)[/tex] en [tex]\( k \)[/tex].
Primero, calculamos la combinación [tex]\( C(n, k) \)[/tex]:
[tex]\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \][/tex]
Para [tex]\( n = 8 \)[/tex] y [tex]\( k = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8 - 4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \][/tex]
El valor de esta combinación es 70. Esto nos indica que hay 70 maneras diferentes de obtener exactamente 4 águilas en 8 lanzamientos.
Luego, calculamos la probabilidad asociada con cada combinación específica:
[tex]\[ P(X = k) = C(8, 4) \cdot (0.5^4) \cdot (0.5^{8-4}) \][/tex]
[tex]\[ P(X = 4) = 70 \cdot (0.5^4) \cdot (0.5^4) \][/tex]
[tex]\[ P(X = 4) = 70 \cdot (0.5^8) \][/tex]
[tex]\[ P(X = 4) = 70 \cdot (0.00390625) \][/tex]
[tex]\[ P(X = 4) = 0.2734375 \][/tex]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 4 águilas en 8 lanzamientos de una moneda es [tex]\( 0.2734375 \)[/tex]. Así, la combinación [tex]\( C(8, 4) \)[/tex] es 70 y la probabilidad de que esto ocurra es aproximadamente 0.27344.
