Para encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto [tex]\((2, -3)\)[/tex] y es paralela a la recta [tex]\(3y + 2 = 0\)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Encontrar la pendiente de la recta original:
Primero necesitamos poner la ecuación de la línea [tex]\(3y + 2 = 0\)[/tex] en la forma y = mx + b (forma pendiente-intercepto).
[tex]\[
3y + 2 = 0
\][/tex]
Restamos 2 a ambos lados para despejar [tex]\(3y\)[/tex]:
[tex]\[
3y = -2
\][/tex]
Dividimos ambos lados entre 3:
[tex]\[
y = -\frac{2}{3}
\][/tex]
De esto, podemos ver que la pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la línea original es [tex]\(-\frac{2}{3}\)[/tex].
2. Determinar la pendiente de la línea paralela:
Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente [tex]\(m\)[/tex] de nuestra nueva línea también será [tex]\(-\frac{2}{3}\)[/tex].
3. Usar la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la nueva línea:
La fórmula punto-pendiente es:
[tex]\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\][/tex]
Donde [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] es el punto dado y [tex]\(m\)[/tex] es la pendiente. En este caso, [tex]\(m = -\frac{2}{3}\)[/tex], [tex]\(x_1 = 2\)[/tex], y [tex]\(y_1 = -3\)[/tex].
Sustituimos estos valores en la fórmula:
[tex]\[
y - (-3) = -\frac{2}{3}(x - 2)
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
y + 3 = -\frac{2}{3}x + \frac{2 \cdot 2}{3}
\][/tex]
[tex]\[
y + 3 = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}
\][/tex]
Restamos 3 a ambos lados para despejar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} - 3
\][/tex]
Convirtamos el -3 a una fracción con denominador 3:
[tex]\[
-3 = -\frac{9}{3}
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} - \frac{9}{3}
\][/tex]
Simplificamos [tex]\( \frac{4}{3} - \frac{9}{3} \)[/tex]:
[tex]\[
y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la línea que pasa por el punto [tex]\((2, -3)\)[/tex] y es paralela a la recta [tex]\(3y + 2 = 0\)[/tex] es:
[tex]\[
y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}
\][/tex]
La pendiente de la línea es [tex]\(-\frac{2}{3}\)[/tex] y el término constante de la ecuación es [tex]\(-\frac{5}{3}\)[/tex].
