Para clasificar las sucesiones dadas, necesitamos analizar el comportamiento de los términos [tex]$a_n$[/tex] conforme aumenta [tex]$n$[/tex]. Vamos a evaluar cada una de las sucesiones por separado:
### a. [tex]\( a_n = 2^n \)[/tex]
Para cada [tex]\( n \)[/tex], el término [tex]\( a_n \)[/tex] se obtiene elevando 2 a la potencia de [tex]\( n \)[/tex]. Dado que 2 es una constante positiva mayor que 1, [tex]\( 2^n \)[/tex] crece exponencialmente a medida que [tex]\( n \)[/tex] aumenta. Esto significa que:
[tex]\[ a_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2a_n > a_n, \][/tex]
por lo que [tex]\( a_n = 2^n \)[/tex] es una sucesión creciente.
### b. [tex]\( a_n = 1 - n \)[/tex]
En esta sucesión, observamos que conforme [tex]\( n \)[/tex] aumenta, el término [tex]\( a_n \)[/tex] disminuye linealmente porque estamos restando [tex]\( n \)[/tex] de una constante (1). Es decir:
[tex]\[ a_{n+1} = 1 - (n+1) = 1 - n - 1 = a_n - 1 < a_n, \][/tex]
lo que indica que [tex]\( a_n = 1 - n \)[/tex] es una sucesión decreciente.
### c. [tex]\( a_n = \frac{(-1)^n}{n^2} \)[/tex]
Para esta sucesión, cada término [tex]\( a_n \)[/tex] está dado por la fracción [tex]\(\frac{(-1)^n}{n^2}\)[/tex]. Aquí, [tex]\( (-1)^n \)[/tex] oscila entre -1 y 1 dependiendo de si [tex]\( n \)[/tex] es par o impar, y [tex]\( n^2 \)[/tex] es siempre positivo y crece cuadráticamente. Por ende, aunque los valores absolutos de [tex]\( a_n \)[/tex] disminuyen porque [tex]\( n^2 \)[/tex] aumenta, la alternancia entre signos hace que la sucesión oscile alrededor del 0:
[tex]\[ a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}, \][/tex]
que no mantiene una monotonía clara, por lo que se clasifica como oscilante alrededor de 0.
### d. [tex]\( a_n = (-1)^n \cdot n \)[/tex]
En esta sucesión, cada término está dado por [tex]\( (-1)^n \)[/tex], que alterna entre 1 y -1, multiplicado por [tex]\( n \)[/tex]. Esto da lugar a términos que alternan en signo y crecen en magnitud conforme [tex]\( n \)[/tex] aumenta, es decir:
[tex]\[ a_{n+1} = (-1)^{n+1}(n+1), \][/tex]
cambiando de positivo a negativo y de negativo a positivo con cada incremento de [tex]\( n \)[/tex], haciendo que esta sucesión sea alternante y no estrictamente creciente ni decreciente.
### Resumen:
- [tex]\( a_n = 2^n \)[/tex] es una sucesión creciente.
- [tex]\( a_n = 1 - n \)[/tex] es una sucesión decreciente.
- [tex]\( a_n = \frac{(-1)^n}{n^2} \)[/tex] es una sucesión oscilante alrededor de 0.
- [tex]\( a_n = (-1)^n \cdot n \)[/tex] es una sucesión alternante en signo y magnitudes crecientes.
Por lo tanto, las clasificaciones de las sucesiones son:
[tex]\[ \text{a. creciente, b. decreciente, c. oscilante, d. alternante}. \][/tex]
