Claro, vamos a resolver el problema paso a paso utilizando la división de polinomios.
Dado el polinomio [tex]\(\frac{x^5 + 32}{x + 2}\)[/tex], queremos encontrar el tercer término del desarrollo de la división.
Paso 1: Preparar los polinomios
1. Dividendo: [tex]\(x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 32\)[/tex]
2. Divisor: [tex]\(x + 2\)[/tex]
Paso 2: Realizar la división polinómica
Dividimos el polinomio de mayor grado:
1. Dividimos [tex]\(x^5\)[/tex] por [tex]\(x\)[/tex], lo que da:
[tex]\[ x^4 \][/tex]
Multiplicamos [tex]\(x^4\)[/tex] por [tex]\(x + 2\)[/tex]:
[tex]\[ x^4 (x + 2) = x^5 + 2x^4 \][/tex]
Restamos esto del dividendo:
[tex]\[ (x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 32) - (x^5 + 2x^4) = -2x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 32 \][/tex]
2. Dividimos [tex]\(-2x^4\)[/tex] por [tex]\(x\)[/tex], lo que da:
[tex]\[ -2x^3 \][/tex]
Multiplicamos [tex]\(-2x^3\)[/tex] por [tex]\(x + 2\)[/tex]:
[tex]\[ -2x^3 (x + 2) = -2x^4 - 4x^3 \][/tex]
Restamos esto del polinomio:
[tex]\[ (-2x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 32) - (-2x^4 - 4x^3) = 4x^3 + 0x^2 + 0x + 32 \][/tex]
3. Dividimos [tex]\(4x^3\)[/tex] por [tex]\(x\)[/tex], lo que da:
[tex]\[ 4x^2 \][/tex]
Multiplicamos [tex]\(4x^2\)[/tex] por [tex]\(x + 2\)[/tex]:
[tex]\[ 4x^2 (x + 2) = 4x^3 + 8x^2 \][/tex]
Restamos esto del polinomio:
[tex]\[ (4x^3 + 0x^2 + 0x + 32) - (4x^3 + 8x^2) = -8x^2 + 0x + 32 \][/tex]
Por lo tanto, el tercer término del cociente es [tex]\(4x^2\)[/tex].
Respuesta:
[tex]\(4x^2\)[/tex] es el tercer término, por lo que la respuesta correcta es:
b) [tex]\(4x^2\)[/tex]
