Claro, vamos a analizar la sucesión dada [tex]\(\left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \ldots \right\}\)[/tex] para encontrar la expresión general del término [tex]\(a_n\)[/tex].
1. Identificación de los términos:
- Primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]): [tex]\(-\frac{1}{2}\)[/tex]
- Segundo término ([tex]\(a_2\)[/tex]): [tex]\(\frac{1}{4}\)[/tex]
- Tercer término ([tex]\(a_3\)[/tex]): [tex]\(-\frac{1}{6}\)[/tex]
- Cuarto término ([tex]\(a_4\)[/tex]): [tex]\(\frac{1}{8}\)[/tex]
- ..., etc.
2. Patrón en el signo:
Observamos que los signos de los términos alternan entre negativo y positivo. Esto sugiere que el signo del término puede describirse usando una potencia de [tex]\((-1)\)[/tex]:
- [tex]\(a_1\)[/tex]: negativo [tex]\(\Rightarrow (-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1\)[/tex]
- [tex]\(a_2\)[/tex]: positivo [tex]\(\Rightarrow (-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1\)[/tex]
- [tex]\(a_3\)[/tex]: negativo [tex]\(\Rightarrow (-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1\)[/tex]
- [tex]\(a_4\)[/tex]: positivo [tex]\(\Rightarrow (-1)^{4+1} = (-1)^5 = -1\)[/tex]
Generalizando, el signo del [tex]\(n\)[/tex]-ésimo término [tex]\(a_n\)[/tex] está dado por [tex]\((-1)^{n+1}\)[/tex].
3. Patrón en el denominador:
Observamos también que:
- El denominador del primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) es [tex]\(2 \cdot 1 = 2\)[/tex].
- El denominador del segundo término ([tex]\(a_2\)[/tex]) es [tex]\(2 \cdot 2 = 4\)[/tex].
- El denominador del tercer término ([tex]\(a_3\)[/tex]) es [tex]\(2 \cdot 3 = 6\)[/tex].
- El denominador del cuarto término ([tex]\(a_4\)[/tex]) es [tex]\(2 \cdot 4 = 8\)[/tex].
Generalizando, el denominador del [tex]\(n\)[/tex]-ésimo término [tex]\(a_n\)[/tex] es [tex]\(2 \cdot n\)[/tex].
Combinando estos dos patrones:
[tex]\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{2n} \][/tex]
Por lo tanto, la expresión que representa el término [tex]\(a_n\)[/tex] de la sucesión es:
[tex]\[ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{2n} \][/tex]
Esta fórmula nos permite calcular cualquier término de la sucesión dada.
