Vamos a resolver el problema paso a paso para encontrar la fórmula que permita calcular el puntaje total de un jugador que durante el juego ha obtenido [tex]\( n \)[/tex] cartas verdes.
1. Identificar la secuencia de puntos:
Cada carta verde obtenida sigue una secuencia aritmética:
- La primera carta verde da 1 punto.
- La segunda carta verde da 3 puntos.
- La tercera carta verde da 5 puntos.
- Así sucesivamente, con una diferencia constante de 2 puntos entre las cartas consecutivas.
2. Fórmula general del término [tex]\( n \)[/tex]-ésimo en una secuencia aritmética:
La fórmula para el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término [tex]\( a_n \)[/tex] de una secuencia aritmética está dada por:
[tex]\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\][/tex]
donde [tex]\( a_1 \)[/tex] es el primer término y [tex]\( d \)[/tex] es la diferencia común. En este caso, [tex]\( a_1 = 1 \)[/tex] y [tex]\( d = 2 \)[/tex].
3. Fórmula del [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término específico:
Sustituyendo los valores específicos en la fórmula, tenemos:
[tex]\[
a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1
\][/tex]
Por lo tanto, el [tex]\( n \)[/tex]-ésimo término de la secuencia es [tex]\( 2n - 1 \)[/tex].
4. Fórmula de la suma de los primeros [tex]\( n \)[/tex] términos de una secuencia aritmética:
La fórmula para la suma de los primeros [tex]\( n \)[/tex] términos [tex]\( S_n \)[/tex] de una secuencia aritmética está dada por:
[tex]\[
S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d \right)
\][/tex]
Sustituyamos los valores específicos de [tex]\( a_1 \)[/tex] y [tex]\( d \)[/tex]:
[tex]\[
S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2 \right)
\][/tex]
5. Simplificación de la fórmula de la suma:
Simplificando, tenemos:
[tex]\[
S_n = \frac{n}{2} \left(2 + 2n - 2 \right) = \frac{n}{2} \cdot 2n = n^2
\][/tex]
Por lo tanto, la fórmula que permite calcular el puntaje total de un jugador que ha obtenido [tex]\( n \)[/tex] cartas verdes es:
[tex]\[ \boxed{n^2} \][/tex]
La respuesta correcta es la opción [tex]\( D \)[/tex].
