Para resolver el problema, consideremos que los términos de la progresión aritmética (P.A.) sean [tex]\(a - d\)[/tex], [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(a + d\)[/tex].
1. Sumamos los términos y usamos la condición de la suma:
[tex]\[
(a - d) + a + (a + d) = 27
\][/tex]
[tex]\[
3a = 27
\][/tex]
[tex]\[
a = \frac{27}{3} = 9
\][/tex]
Entonces, el término medio de la P.A. es [tex]\(a = 9\)[/tex].
2. Usamos la condición del producto de los términos:
[tex]\[
(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 504
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\(a = 9\)[/tex]:
[tex]\[
(9 - d) \cdot 9 \cdot (9 + d) = 504
\][/tex]
[tex]\[
9 \cdot (81 - d^2) = 504
\][/tex]
[tex]\[
729 - 9d^2 = 504
\][/tex]
[tex]\[
9d^2 = 729 - 504
\][/tex]
[tex]\[
9d^2 = 225
\][/tex]
[tex]\[
d^2 = \frac{225}{9} = 25
\][/tex]
[tex]\[
d = 5 \quad \text{o} \quad d = -5
\][/tex]
3. Calculamos los términos de la P.A.:
- Si [tex]\(d = 5\)[/tex]:
[tex]\[
a - d = 9 - 5 = 4
\][/tex]
[tex]\[
a = 9
\][/tex]
[tex]\[
a + d = 9 + 5 = 14
\][/tex]
Entonces, los términos son 4, 9 y 14.
- Si [tex]\(d = -5\)[/tex]:
[tex]\[
a - d = 9 - (-5) = 14
\][/tex]
[tex]\[
a = 9
\][/tex]
[tex]\[
a + d = 9 + (-5) = 4
\][/tex]
Entonces, los términos son 14, 9 y 4.
En ambos casos, los tres términos son 4, 9 y 14, pero el orden puede variar según el valor de [tex]\(d\)[/tex].
4. Determinar el menor término:
En ambos casos posibles, los tres términos son 4, 9 y 14. Por lo tanto, el menor término de la P.A. es [tex]\(4\)[/tex].
