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Sagot :
Claro, vamos a resolver cada una de las inecuaciones cuadráticas una por una, detalladamente.
### Inecuación 140: [tex]\(4x^2 - 25 \leqslant 0\)[/tex]
Primero, reordenamos la inecuación:
[tex]\[ 4x^2 - 25 \leqslant 0 \][/tex]
Reconocemos que esta es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (2x - 5)(2x + 5) \leqslant 0 \][/tex]
Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la ecuación:
[tex]\[ 2x - 5 = 0 \quad \text{y} \quad 2x + 5 = 0 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ x = \frac{5}{2} \quad \text{y} \quad x = -\frac{5}{2} \][/tex]
La solución de la inecuación depende del producto de estos binomios:
[tex]\[ (2x - 5)(2x + 5) \leqslant 0 \][/tex]
Dado que los puntos críticos son [tex]\(x = -\frac{5}{2}\)[/tex] y [tex]\(x = \frac{5}{2}\)[/tex], el polinomio cambia de signo en estos puntos. Por lo tanto, el conjunto solución está en el intervalo cerrado:
[tex]\[ -\frac{5}{2} \leqslant x \leqslant \frac{5}{2} \][/tex]
Representado en notación de intervalos:
[tex]\[ \left[-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right] \][/tex]
### Inecuación 142: [tex]\(x^2 - 8x - 1008 > 0\)[/tex]
Primero, identifiquemos las raíces de la ecuación correspondiente:
[tex]\[ x^2 - 8x - 1008 = 0 \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son los puntos críticos. Al resolverla obtenemos:
[tex]\[ x = 28 \quad \text{y} \quad x = -36 \][/tex]
La inecuación se satisface en los intervalos donde la función cuadrática es positiva:
[tex]\[ x^2 - 8x - 1008 > 0 \][/tex]
Estos intervalos son:
[tex]\[ (-\infty, -36) \cup (28, \infty) \][/tex]
### Inecuación 141: [tex]\(x^2 + 11x < -18\)[/tex]
Primero, reordenamos la inecuación para que sea más fácil de manejar:
[tex]\[ x^2 + 11x + 18 < 0 \][/tex]
Encontramos las raíces de la función cuadrática:
[tex]\[ x^2 + 11x + 18 = 0 \][/tex]
Resolvemos para obtener:
[tex]\[ x = -2 \quad \text{y} \quad x = -9 \][/tex]
Usamos estos puntos para determinar los intervalos donde la función cuadrática es negativa. La solución de la inecuación es:
[tex]\[ -9 < x < -2 \][/tex]
### Inecuación 143: [tex]\(15x^2 - 2 \geqslant 7x\)[/tex]
Primero, reordenamos la inecuación:
[tex]\[ 15x^2 - 7x - 2 \geqslant 0 \][/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática:
[tex]\[ 15x^2 - 7x - 2 = 0 \][/tex]
Las soluciones son:
[tex]\[ x = \frac{1}{5} \quad \text{y} \quad x = \frac{2}{3} \][/tex]
Interesados en donde esta cuadrática es mayor o igual a cero, analizamos los intervalos alrededor de estos puntos críticos. La solución es:
[tex]\[ x \leqslant -\frac{1}{5} \quad \text{o} \quad x \geqslant \frac{2}{3} \][/tex]
### Resumen:
Las soluciones de las inecuaciones cuadráticas dadas son:
1. Para [tex]\(4x^2 - 25 \leqslant 0\)[/tex]:
[tex]\[ \left[-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right] \][/tex]
2. Para [tex]\(x^2 - 8x - 1008 > 0\)[/tex]:
[tex]\[ (-\infty, -36) \cup (28, \infty) \][/tex]
3. Para [tex]\(x^2 + 11x < -18\)[/tex]:
[tex]\[ (-9, -2) \][/tex]
4. Para [tex]\(15x^2 - 2 \geqslant 7x\)[/tex]:
[tex]\[ (-\infty, -\frac{1}{5}] \cup [\frac{2}{3}, \infty) \][/tex]
### Inecuación 140: [tex]\(4x^2 - 25 \leqslant 0\)[/tex]
Primero, reordenamos la inecuación:
[tex]\[ 4x^2 - 25 \leqslant 0 \][/tex]
Reconocemos que esta es una diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (2x - 5)(2x + 5) \leqslant 0 \][/tex]
Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la ecuación:
[tex]\[ 2x - 5 = 0 \quad \text{y} \quad 2x + 5 = 0 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ x = \frac{5}{2} \quad \text{y} \quad x = -\frac{5}{2} \][/tex]
La solución de la inecuación depende del producto de estos binomios:
[tex]\[ (2x - 5)(2x + 5) \leqslant 0 \][/tex]
Dado que los puntos críticos son [tex]\(x = -\frac{5}{2}\)[/tex] y [tex]\(x = \frac{5}{2}\)[/tex], el polinomio cambia de signo en estos puntos. Por lo tanto, el conjunto solución está en el intervalo cerrado:
[tex]\[ -\frac{5}{2} \leqslant x \leqslant \frac{5}{2} \][/tex]
Representado en notación de intervalos:
[tex]\[ \left[-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right] \][/tex]
### Inecuación 142: [tex]\(x^2 - 8x - 1008 > 0\)[/tex]
Primero, identifiquemos las raíces de la ecuación correspondiente:
[tex]\[ x^2 - 8x - 1008 = 0 \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son los puntos críticos. Al resolverla obtenemos:
[tex]\[ x = 28 \quad \text{y} \quad x = -36 \][/tex]
La inecuación se satisface en los intervalos donde la función cuadrática es positiva:
[tex]\[ x^2 - 8x - 1008 > 0 \][/tex]
Estos intervalos son:
[tex]\[ (-\infty, -36) \cup (28, \infty) \][/tex]
### Inecuación 141: [tex]\(x^2 + 11x < -18\)[/tex]
Primero, reordenamos la inecuación para que sea más fácil de manejar:
[tex]\[ x^2 + 11x + 18 < 0 \][/tex]
Encontramos las raíces de la función cuadrática:
[tex]\[ x^2 + 11x + 18 = 0 \][/tex]
Resolvemos para obtener:
[tex]\[ x = -2 \quad \text{y} \quad x = -9 \][/tex]
Usamos estos puntos para determinar los intervalos donde la función cuadrática es negativa. La solución de la inecuación es:
[tex]\[ -9 < x < -2 \][/tex]
### Inecuación 143: [tex]\(15x^2 - 2 \geqslant 7x\)[/tex]
Primero, reordenamos la inecuación:
[tex]\[ 15x^2 - 7x - 2 \geqslant 0 \][/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática:
[tex]\[ 15x^2 - 7x - 2 = 0 \][/tex]
Las soluciones son:
[tex]\[ x = \frac{1}{5} \quad \text{y} \quad x = \frac{2}{3} \][/tex]
Interesados en donde esta cuadrática es mayor o igual a cero, analizamos los intervalos alrededor de estos puntos críticos. La solución es:
[tex]\[ x \leqslant -\frac{1}{5} \quad \text{o} \quad x \geqslant \frac{2}{3} \][/tex]
### Resumen:
Las soluciones de las inecuaciones cuadráticas dadas son:
1. Para [tex]\(4x^2 - 25 \leqslant 0\)[/tex]:
[tex]\[ \left[-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right] \][/tex]
2. Para [tex]\(x^2 - 8x - 1008 > 0\)[/tex]:
[tex]\[ (-\infty, -36) \cup (28, \infty) \][/tex]
3. Para [tex]\(x^2 + 11x < -18\)[/tex]:
[tex]\[ (-9, -2) \][/tex]
4. Para [tex]\(15x^2 - 2 \geqslant 7x\)[/tex]:
[tex]\[ (-\infty, -\frac{1}{5}] \cup [\frac{2}{3}, \infty) \][/tex]
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